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7-3-2多边形的内角和教案

来源:赴品旅游

732  多边形的内角和

[教学目标]

1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.

[教学重点、难点]

1.重点:

1)多边形的内角和公式.

2)多边形的外角和公式.

2.难点:多边形的内角和定理的推导.

[教学过程]

一、探究

1.我们知道三角形的内角和为180°

2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°  

3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢?

    画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.

    从中你得到什么结论?

    同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导.

二、思考几个问题

1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?它们将四边形分成几个三角形?那么四边形的内角和等于多少度?

2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?它们将五边形分成几个三角形?那么这五边形的内角和为多少度?

3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?它们将n边形分成几个三角形?n边形的内角和等于多少度?

综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?

设多边形的边数为n,则

n边形的内角和等于(n2·180°

想一想:要得到多边形的内角和必需通过三角形的内角和定理来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?

由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳:(以五边形为例)

分法一:在五边形ABCDE内任取一点O,连结OAOBOCODOE,则得五个三角形.其五个三角形内角和为5×180°,而12345不是五边形的内角应减去,五边形的内角和为5×180°2×180°=(5—2×180°=0°

如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得:n边形内角和=n×l80°2×180°=n2×180°

    分法二:在边AB上取一点O,连OEODOC,则可以(51)个三角形,而1234不是五边形的内角,应舍去.

    五边形的内角和为(5—1×180°180°=(5—2×180°

用同样的办法,也可以把n边形分成(n1)个三角形,把不是n边形内角的AOB舍去,即可得n边形的内角和为(n2×180°

 三、例题

1  如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?

已知:四边形ABCDAC180°.求:BD的关系.

    分析:本题要求BD的关系,由于已知AC180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案.

    

解:如图,四边形ABCD中,AC180°

∵∠A+B+C+D=4-2×360°=180°

∴∠BD= 360°-(AC=180°

这就是说:如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.

    2  如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?

已知:123456分别为六边形ABCDEF的外角.

求:1+2+3+4+5+6的值.

分析:关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°.由于六边形的内角和为(6—2×180°=720°

这样就可求得1+2+3+4+5+6=360°

解:六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°

        六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°

        由于六边形的内角和为(6—2×180°=720°

        它的外角和为6×180°720°=360°

如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)

同样也可以得到其外角和等于360°.即

多边形的外角和等于360°

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.

对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°

如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°

四、课堂练习  

课本P练习123题.

P9023

五、课堂小结

引导学生总结本节课主要内容.

六、课后作业

课本P90456题.

备选题:

一、判断题.

1.当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.(    

2.当多边形边数增加时.它的外角和也随着增加.(    

3.三角形的外角和与一多边形的外角和相等.(    

4.从n边形一个顶点出发,可以引出(n2)条对角线,得到(n2)个三角形.(    

5.四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.(    

二、填空题.

1.一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为       边形.

2.一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为       边形.

3.内角和等于外角和的多边形是       边形.

4.内角和为1440°的多边形是       

5.一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是       边形.

6.若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是       边形.

7.五边形的对角线有       条,它们内角和为       

8.一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为       

9.多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为       

10.四边形的ABCD的外角之比为1234,那么ABCD=       

11.四边形的四个内角中,直角最多有          个,钝角最多有         个, 锐角最多有       个.

12.如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加       ,外角和增加       

三、选择题.

1.多边形的每个外角与它相邻内角的关系是(    

A.互为余角    B.互为邻补角 C.两个角相等    D.外角大于内角

2.若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是(    

A.九边形    B.十边形    C.十一边形    D.十二边形

3.一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为(    

A6    B7    C8    D9

4.随着多边形的边数n的增加,它的外角和(    

A.增加    B.减小    C.不变   D.不定

5.若多边形的外角和等于内角和的,它的边数是(    

A3      B4        C5      D7

6.一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是(    

A.五边形    B.八边形    C.十边形    D.十二边形

7.一个多边形每个内角为108°,则这个多边形(    

A.四边形    B,五边形    C.六边形    D.七边形

8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为(    

A180°    B360°    C720°    D1080°

9n边形的n个内角中锐角最多有(    )个.

A1    B2    C3    D4

10.多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是(    

A.八边形    B.九边形    C.十边形    D,十一边形

四、解答题.

1.一个多边形少一个内角的度数和为2300°

    1)求它的边数;    2)求少的那个内角的度数.

2.一个八边形每一个顶点可以引几条对角线?它共有多少条对角线?n边形呢?

3.已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数.

4.若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的,求这个多边形的边数.

5.多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数.

6n边形的内角和与外角和互比为132,求n

7.五边形ABCDE的各内角都相等,且AEDEADCB吗?

8.将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形?

9.四边形ABCD中,A+B=210°C4D.求:CD的度数.

10.在四边形ABCD中,ABACADDAC2BAC

求证:DBC2BDC

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