7-3-2多边形的内角和教案

7．3．2  多边形的内角和

[教学目标]

1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．

2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

[教学重点、难点]

1．重点：

（1）多边形的内角和公式．

（2）多边形的外角和公式．

2．难点：多边形的内角和定理的推导．

[教学过程]

一、探究

1．我们知道三角形的内角和为180°．

2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．  

3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？

    画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．

    从中你得到什么结论？

    同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．

二、思考几个问题

1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？

3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n边形的内角和等于多少度？

综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？

设多边形的边数为n，则

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？

由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：（以五边形为例）

分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=0°．

如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=（n一2）×180°．

    分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．

    ∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

用同样的办法，也可以把n边形分成（n一1）个三角形，把不是n边形内角的∠AOB舍去，即可得n边形的内角和为（n一2）×180°．

 三、例题

例1  如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．

    分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．

解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。

∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×360°=180°，

∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°

这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

    例2  如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．

求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．

这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．

        ∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．

        由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°

        ∴它的外角和为6×180°一720°=360°

如果把六边形横成n边形．（n为不小于3的正整数）

同样也可以得到其外角和等于360°．即

多边形的外角和等于360°．

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．

对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

四、课堂练习  

课本P练习1、2、3题．

P90第2、3题

五、课堂小结

引导学生总结本节课主要内容．

六、课后作业

课本P90第4、5、6题．

备选题：

一、判断题．

1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（    ）

2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（    ）

3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．（    ）

4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（    ）

5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（    ）

二、填空题．

1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为       边形．

2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为       边形．

3．内角和等于外角和的多边形是       边形．

4．内角和为1440°的多边形是       ．

5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是       边形．

6．若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是       边形．

7．五边形的对角线有       条，它们内角和为       ．

8．一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为       ．

9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，则它的每一个外角为       ．

10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=       ．

11．四边形的四个内角中，直角最多有          个，钝角最多有         个， 锐角最多有       个．

12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加       ，外角和增加       ．

三、选择题．

1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（    ）

A．互为余角    B．互为邻补角 C．两个角相等    D．外角大于内角

2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（    ）

A．九边形    B．十边形    C．十一边形    D．十二边形

3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（    ）

A．6条    B．7条    C．8条    D．9条

4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（    ）

A．增加    B．减小    C．不变   D．不定

5．若多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是（    ）

A．3      B．4        C．5      D．7

6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（    ）

A．五边形    B．八边形    C．十边形    D．十二边形

7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（    ）

A．四边形    B，五边形    C．六边形    D．七边形

8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为（    ）

A．180°    B．360°    C．720°    D．1080°

9．n边形的n个内角中锐角最多有（    ）个．

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（    ）

A．八边形    B．九边形    C．十边形    D，十一边形

四、解答题．

1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．

    （1）求它的边数；    （2）求少的那个内角的度数．

2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？

3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．

4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．

5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．

6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．

7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？

8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？

9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．

10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．

求证：∠DBC＝2∠BDC．