消元（二）教案

8．2　消元（二）（第一课时）

   一、知识与技能目标

    1.用代入法、加减法解二元一次方程组.

    2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.

    3.会用二元一次方程组解决实际问题.

    4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.

    5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.

    二、过程与方法目标

    1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.

    2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.

    三、情感态度与价值观目标

    1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，增强学习数学的信息。

    2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯。

    3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识。

    4.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣。

新授课：

一、创设情境，导入新课

    甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？

    二、师生互动，课堂探究

    （一）提高问题，引发讨论

    这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？

    （二）导入知识，解释疑难

    1.问题的解决

    上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22  即x=18,把x=18代入①得y=4。另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40  即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.

    分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。

    解：由①＋②得  19x=11.6  x=

    把x=代入①得y=-    ∴这个方程组的解为

    3.加减消元法的概念

    从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

    4.例题讲解

    分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

    解：①×3,得  9x+12y=48  ③

    ②×2,得  10x-12y=66 ④

    ③＋④,得  19x=114

                 x=6

    把x=6代入①，得3×6+4y=16

    4y=-2, y=-

    所以，这个方程组的解是

    议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？

    解：①×5，得  15x+20y=80 ③

    ②×3,得  15x-18=99 ④

    ③-④,得 38y=-19

               y=-

    把y=-代入①，得3x+4×(-)=16

                                3x=18

                                 x=6

    所以，这个方程组的解为

    如果求出y=-后，把y=代入②也可以求出未知数x的值。

    5.做一做

    分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。

    ③－④，得4x=36

               x=9

    把x=9代入④（也可代入③，但不佳），得

    10×9-3y=48

     -3y=-42

       y=14

    ∴这个方程组的解为

    点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.

    6.想一想

    (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

    (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

师生共析:

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

    (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

    第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

    第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

    第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

    (三)归纳总结,知识回顾

    本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.

    作业：

1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.

2.用加减法解下列方程组:

    (1)       (2)

    (3)         (4)

参

    1.(1)①×②-②消去y  (2)①×2+②×3消去n

    2.(1)  (2)  (3)  (4)