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消元(二)教案

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8.2 消元(二)(第一课时)

   一、知识与技能目标

    1.用代入法、加减法解二元一次方程组.

    2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.

    3.会用二元一次方程组解决实际问题.

    4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.

    5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.

    二、过程与方法目标

    1.通过探索二元一次方程组的解法的过程,了解二元一次方程组的“消元”思想,培养学生良好的探索习惯.

    2.通过对具体实际问题分解,组织学生自主交流、探索,去发现列方程建模的过程,培养学生用数学的意识.

    三、情感态度与价值观目标

    1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想,从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中,享受学习数学的乐趣,增强学习数学的信息。

    2.培养学生合作交流,自主探索的良好习惯。

    3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养应用数学的意识。

    4.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣。

新授课:

一、创设情境,导入新课

    甲、乙、丙三位同学是好朋友,平时互相帮助。甲借给乙10元钱,乙借给丙8元钱,丙又给甲12元钱,如果允许转帐,最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱,欠多少?

    二、师生互动,课堂探究

    (一)提高问题,引发讨论

①②

   我们知道,对于方程组      , 可以用代入消元法求解。

    这个方程组的两个方程中,y的系数有什么关系?利用这种关系你能发现新的消元方法吗?

    (二)导入知识,解释疑难

    1.问题的解决

    上面的两个方程中未知数y的系数相同,②-①可消去未知数y,得(2x+y)-(x+y)=40-22  即x=18,把x=18代入①得y=4。另外,由①-②也能消去未知数y,得(x+y)-(2x+y)=22-40  即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.

①②

   2.想一想:联系上面的解法,想一想应怎样解方程组

    分析:这两个方程中未知数y的系数互为相反数,因此由①+②可消去未知数y,从而求出未知数x的值。

    解:由①+②得  19x=11.6  x=

    把x=代入①得y=-    ∴这个方程组的解为

    3.加减消元法的概念

    从上面两个方程组的解法可以发现,把两个二元一次方程的两边分别进行相加减,就可以消去一个未知数,得到一个一元一次方程。

    两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。

    4.例题讲解

①②

   用加减法解方程组

    分析:这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同,直接加减两个方程不能消元,试一试,能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。

    解:①×3,得  9x+12y=48  ③

    ②×2,得  10x-12y=66 ④

    ③+④,得  19x=114

                 x=6

    把x=6代入①,得3×6+4y=16

    4y=-2, y=-

    所以,这个方程组的解是

    议一议:本题如果用加减法消去x应如何解?解得结果与上面一样吗?

    解:①×5,得  15x+20y=80 ③

    ②×3,得  15x-18=99 ④

    ③-④,得 38y=-19

               y=-

    把y=-代入①,得3x+4×(-)=16

                                3x=18

                                 x=6

    所以,这个方程组的解为

    如果求出y=-后,把y=代入②也可以求出未知数x的值。

    5.做一做

①②

   解方程组

    分析:本题不能直接运用加减法求解,要进行化简整理后再求解。

①②

   解:化简方程组,得

    ③-④,得4x=36

               x=9

    把x=9代入④(也可代入③,但不佳),得

    10×9-3y=48

     -3y=-42

       y=14

    ∴这个方程组的解为

    点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.

    6.想一想

    (1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?

    (2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?

师生共析:

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.

    (2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

    第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.

    第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.

    第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.

    (三)归纳总结,知识回顾

    本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.

    作业:

1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.

①②

   (1)        ,消元方法_________.

①②

   (2)       ,消元方法_________.

2.用加减法解下列方程组:

    (1)       (2)

    (3)         (4)

    1.(1)①×②-②消去y  (2)①×2+②×3消去n

    2.(1)  (2)  (3)  (4)

 

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