函数的周期性与对称性.

1、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

3.函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(ax)f(bx) yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称 22推论1：f(ax)f(ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论2、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论3、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 2、f(ax)f(bx)2c yf(x)的图象关于点(ab,c)对称 2推论1、f(ax)f(ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称

例题分析：

1．设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则

f(47.5)等于 ( ) （A）0.5 （B）0.5 （C）1.5 （D）1.5 2、（山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)2,f(x1)f(x6),求f(10). 4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1，若f(1)5，则f[f(5)]___ f(x) 1

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x1对称。 （1）求f(0)的值；（2）证明f(x)是周期函数；

（3）若f(x)x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象。

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

巩固练习：

1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )

A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)

2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈11－x

[0,1]时，f(x)＝ 2，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

1x－3

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝2. 其中所有正确命题的序号是________．

1

0，时，3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈231111

－的值等于( )A．－ B．－C．－ D．－ f(x)＝－x2，则f(3)＋f22345

4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

ax11关于点（，）对称：f(x)f(1x)_____; 5、（1）f(x)x22aa4x11）对称：f(x)f(x)______ （2）f(x)x12x1关于（0，2（3）若f(x)f(2ax),设f(x)0有n个不同的实数根，则

x1x2xn_________.

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．

2

7．设f(x)是定义在(,)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，

f(x)2(x3)24.求x1,2时，f(x)的解析式.

8.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x)，f(7x) f(7x)且f(0)0,判断函数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.

9.已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.

（1）证明：f(1)f(4)0；（2）求yf(x),x[1,4]的解析式； （3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.

10.已知f(x)x(

11、定义在[1，1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若

11（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)0 )，

2x12f(a2a1)f(4a5)0，求实数a的范围。

2xb12．（重庆文）已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围。

复习题：

22 3

1．已知数列{an}，其前n项和为Sn，点(n,Sn)在抛物线y等比数列{bn}满足b1b3321xx上；各项都为正数的 2211,b5. 1632（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Cnanbn,求数列{Cn}的前n项和Tn．

b2c2a28SABC（其2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且

23中SABC为△ABC的面积）．

BC（Ⅰ）求sin2（Ⅱ）若b2，△ABC的面积为3，求a． cos2A；

2

3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日

用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X 频率 1 2 0．2 3 0．45 4 5 a b c （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5

的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

4. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点， PAAC2，BC1. （Ⅰ）求证：AH平面PBC；

（Ⅱ）求经过点PABC的球的表面积。

25.已知抛物线x8(y8)与y轴交点为M，动点P,Q在抛物线上滑动，且MPMQ0

（1）求PQ中点R的轨迹方程W；

（2）点A,B,C,D在W上，A,D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到

P H

A

B

C

AB,AC的距离为d1,d2，且d1d22|AD|，证明：ABC为直角三角形

6. 设函数f(x)lnx.（1）求f(x)的极大值； 2x21](n2n)(2n1)(nN*)

（2）求证：12eln[n(n1)(n2)ax22txta0也有（3）当方程f(x)方程g(x)txf(x)0(aR)有唯一解时，

x22e唯一解，求正实数t的值；

函数的周期性与对称性

4

1、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

3.函数yf(x)图象本身的对称性（自身对称）

若f(xa)f(xb)，则f(x)具有周期性；若f(ax)f(bx)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、f(ax)f(bx) yf(x)图象关于直线x(ax)(bx)ab对称 22推论1：f(ax)f(ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论2、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 推论3、f(x)f(2ax) yf(x)的图象关于直线xa对称 2、f(ax)f(bx)2c yf(x)的图象关于点(ab,c)对称 2推论1、f(ax)f(ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(x)f(2ax)2b yf(x)的图象关于点(a,b)对称

例题分析：

1．设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则

f(47.5)等于 ( ) （A）0.5 （B）0.5 （C）1.5 （D）1.5 2、（山东）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为（ ）

A．－1 B．0 C．1 D．2

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)2,f(x1)f(x6),求f(10). 4．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1，若f(1)5，则f[f(5)]___ f(x) 5

5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x1对称。 （1）求f(0)的值；（2）证明f(x)是周期函数；

（3）若f(x)x(0x1)，求xR时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象。

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．

(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]， ∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.

又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8， 即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]． 巩固练习：

1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )

A．(1,3) B．(－1,1) C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1) 解析：选C f(x)的图像如图．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；

当x∈(0,1)时，由xf(x)<0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)． 故x∈(－1,0)∪(1,3)．

2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈11－x

[0,1]时，f(x)＝ 2，则：①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

1x－3

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；④当x∈(3,4)时，f(x)＝2. 其中所有正确命题的序号是________． 解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确； 11＋x当－1≤x≤0时0≤－x≤1，f(x)＝f(－x)＝2，

6

函数y＝f(x)的图像如图所示：

当31x－3

f(x)＝f(x－4)＝2，因此②④正确，③不正确．答案：①②④

1

0，时，3．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈23

－的值等于( ) f(x)＝－x2，则f(3)＋f21111

A．－ B．－C．－ D．－

2345

解析：选C 由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)， 所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2. 又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，

3111

－＝f(1)＋f＝0－2＝－. 所以f(3)＋f2224

4．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)， ∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.

∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.

ax11关于点（，）对称：f(x)f(1x)1; 5、（1）f(x)x22aa4x11）对称：f(x)f(x)2 （2）f(x)x12x1关于（0，2（3）若f(x)f(2ax),设f(x)0有n个不同的实数根，则

x1x2xnx1(2ax1)x2(2ax2)xn(2axn)na.

22(当n2k1时，必有x12ax1,x1a)

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(3)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积． 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.

7

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．

又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则－1≤x≤0时，f(x)＝x，则f(x)的图像如图所示．

1

×2×1＝当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×24.

7．设f(x)是定义在(,)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间2,3上，

f(x)2(x3)24.求x1,2时，f(x)的解析式.

解：当x3,2，即x2,3，

f(x)f(x)2(x3)242(x3)24

又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x1,2，即3x42时，

有f(x)f(x4)f(x)2(x4)342(x1)4(1x2).22

f(x)2(x1)24(1x2).

8.设函数f(x)对任意实数x满足f(2x)f(2x)，f(7x) f(7x)且f(0)0,判断函数f(x)图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.

解：由题设知函数f(x)图象关于直线x2和x7对称，又由函数的性质得

f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间0,10上，

f(0)0,f(4)f(22)f(22)f(0)0且f(x)不能恒为零,

故f(x)图象与x轴至少有2个交点.

而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上f(x)图象与x轴至少有13个交点. 9.已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)是奇函数.又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.

（1）证明：f(1)f(4)0；（2）求yf(x),x[1,4]的解析式；

8

（3）求yf(x)在[4,9]上的解析式.

解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，且在[1,1]上是奇函数，∴f(1)f(1)f(51)f(4)，∴f(1)f(4)0. ②当x[1,4]时，由题意可设f(x)a(x2)5 (a0)， 由f(1)f(4)0得a(12)5a(42)50，∴a2， ∴f(x)2(x2)5(1x4).

③∵yf(x)(1x1)是奇函数，∴f(0)0，

又知yf(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x)kx(0x1) 而f(1)2(12)53，

∴k3，∴当0x1时，f(x)3x，

从而1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x. ∴当4x6时，有1x51，∴f(x)f(x5)3(x5)3x15. 当6x9时，1x54，

∴f(x)f(x5)2[(x5)2]52(x7)5 ∴f(x)22222223x15,24x66x92(x7)5,.

10.已知f(x)x(11（1）判断f(x)的奇偶性；（2）证明：f(x)0 )，x21211、定义在[1，1]上的函数yf(x)是减函数，且是奇函数，若

f(a2a1)f(4a5)0，求实数a的范围。

2xb12．（重庆文）已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数。

2a（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围。

22 9

10(1)偶函数 (2)奇函数 11(1)偶函数 12、1,复习题：

2．已知数列{an}，其前n项和为Sn，点(n,Sn)在抛物线y等比数列{bn}满足b1b3333 2321xx上；各项都为正数的 2211,b5. 1632（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）记Cnanbn,求数列{Cn}的前n项和Tn．

b2c2a28SABC（其2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且

23中SABC为△ABC的面积）．

BC（Ⅰ）求sin2（Ⅱ）若b2，△ABC的面积为3，求a． cos2A；

23．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5．现从一批该日

用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

X 频率 1 2 0．2 3 0．45 4 5 a b c （1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；

（Ⅱ）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5

的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．

4. 如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点， PAAC2，BC1. （Ⅰ）求证：AH平面PBC；

（Ⅱ）求经过点PABC的球的表面积。

25.已知抛物线x8(y8)与y轴交点为M，动点P,Q在抛物线上滑动，且MPMQ0

P H A

B

C

（1）求PQ中点R的轨迹方程W；

（2）点A,B,C,D在W上，A,D关于y轴对称，过点D作切线l，且BC与l平行，点D到

AB,AC的距离为d1,d2，且d1d22|AD|，证明：ABC为直角三角形

6. 设函数f(x)lnx.（1）求f(x)的极大值； x221](n2n)(2n1)(nN*)

（2）求证：12eln[n(n1)(n2)ax22txta0也有（3）当方程f(x)方程g(x)txf(x)0(aR)有唯一解时，

x22e唯一解，求正实数t的值；

10

复习题答案：1、解：（Ⅰ）

数列an是首项为2，公差为3的等差数列，an3n1

又

各项都为正数的等比数列bn满足b1b3321nn，当n1时，a1S12 223135当n2时，Sn1(n1)2(n1)n2n12222

anSnSn13n1

Sn11,b5 43211,b1q4432 ，解得b11,q1，bn(1)n

2221n (Ⅱ)由题得cn(3n1)()

21111Tn25()2...(3n4)()n1(3n1)()n2222 ①

11111Tn2()25()3...(3n4)()n(3n1)()n122222 ② b2b1q①-②得

111Tn13()2()322211()n(3n1)()n1 2211[1()n1]12134(3n1)()n112123n5 ………………………………………………12分 n22bccosA81bcsinA即3cosA4sinA0 2、解析：（Ⅰ）由已知得

23234sinAcosA55BC1cosAcosA1sin2cos2Acos2A2cos2A

22221159 2………………6分 252525013（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA SABCbcsinA3,b2,

52c5又a262c22bcosA

4a242522513

5a13……………………………………12分

Tn5因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b=

5113()n(3n1)()n1222

3、.解：（1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 ……………1分

3=0.15………3分 20 11

等级系数为5的恰有2件，所以c=

2=0.1 ……………4分 20从而a=0.35-b-c=0.1

所以a=0.1 b=0.15 c=0.1 ……………6分 （2）从日用品X1,X2,X3,Y1,Y2中任取两件，所有可能结果(

X1,

X2),(

X1,

X3),(

X1,

Y1),(

X1,

Y2),

（X2,X3）,( X2,Y1),(X2,Y2),(X3,Y1), (X3,Y2),(Y1,Y2)共10种， …9分

设事件A表示“从日用品X1,X2,X3,Y1,Y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为(X1,X2),(X1,X3),(X1,X2),(Y1,Y2)共4个，………11分

4=0.4 ……………12分 104、（Ⅰ）证明：因为 PA底面ABC，BC底面ABC，

所以 PABC，

又因为 ACBC， PAACA， 所以 BC平面PAC，

又因为 AH平面PAC， 所以 BCAH. 因为 PAAC，H是PC中点， 所以 AHPC， 又因为 PCBCC，

所以 AH平面PBC. …………………………6分

故所求的概率P(A)=

（Ⅱ）S9……………………12分

5、解：（1）显然直线MP的斜率存在且不为0，设为k，设PQ的中点R(x,y)

直线MP:ykx8与x28(y8)联立解得：P(8k,8k28)

88442 的中点PQ8)R(4k,4k8)

kk2kk24x4kk, 轨迹方程：x24y…………………………6分 y4k248k2x02x02x12x22x2x（2）由y得：y，设D(x0,),C(x1,),B(x2,)则A(x0,)

44444211kBC(x1x2)x0, x1x22x0

4211B(2x0x1,(2x0x1)2) kAC(x1x0)

441又kAB(x0x1) 则kACkAB 则DACDAB d1d2

4又d1d22|AD| 则DACDAB450 ABC为直角三角形……………………13分

x2xlnx12lnx6、解：（1）f(x).由f(x)0得xe, 43xxx (0,e) (e,) e   0 f(x) f(x) 递增 极大值 递减 同理：Q(,

12

从而f(x)在(0,e)单调递增,在(e,)单调递减.

f(x)极大f(e)（2）证明：

1.……………………………………………………4分 2e11lnx1f(x)极大f(e). f(x) 2

2e2ex2e12x 2elnxx2 2e分别令x1,2,3,,n 2eln112，2eln222， 2elnnn2 2e(ln1ln2ln3lnn)122232n2

n(n1)(2n1) 2eln[n(n1)(n2)21]62 12eln[n(n1)(n2)21](nn)(2n1)(nN*)…………………………9分 lnx（3）由（1）的结论：方程f(x)a0(aR)有唯一解 a1 2eax22txt2x2tlnx2tx0(x0)有唯一解 0方程g(x)txf(x)有唯一解 即：2x22设G(x)x2tlnx2tx0(x0) G(x)(x2txt)

x22由G(x)0则xtxt0 设xtxt0的两根为x1,x2，不妨设x1x2 tt24ttt24t,x2 t0 x10x2 x122G(x)在(0,x2)递减，(x2,)递增

2要使G(x)x2tlnx2tx0(x0)有唯一解，则G(x2)0 2即：x22tlnx22tx20 ①

2又x2tx2t0② 由①②得：2tlnx2tx2t0 即：2lnx2x210

x21 ，又x2是方程x2txt0的根

tt24t11x2 t………………………………………………14分

22

13