【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 7.4直线、平面平行的判定及其性质精品试题

直线、平面平行的判定及其性质

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( ) A.平行B.平行或异面 C.平行或相交D.异面或相交

【解析】选B.由题知CD∥平面α,故CD与平面α内的直线没有公共点,故只有B正确. 2.对于平面α和共面的直线m,n,下列命题中真命题是( ) A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊂α,n∥α,则m∥n

D.若m,n与α所成的角相等,则m∥n

【解析】选C.A错,可能n⊂α;B错,m,n可能相交;C对,设共面的直线m,n共面于平面β,则α∩β=m,又n∥α,由线面平行的性质定理知m∥n;D错,因为m,n可能相交.故应选C.

【误区警示】此题容易漏掉条件中的“共面”二字,而造成误选.看全题目条件是审题的最基本要求,审题不可走马观花,否则很可能会漏掉或错用条件,造成解题失误. 3.(2013·某某模拟)能保证直线a与平面α平行的是( ) A.a⊄α,b⊂α,a∥b B.b⊂α,a∥b

C.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c

D.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD

【解析】选A.根据线面平行的判定定理可得出选A.

4.(2013·某某模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )

A.有无数条B.有2条C.有1条D.不存在

- 1 - / 9

word

【解析】选A.因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1,所以两平面有一条过D1的交线l,在平面ADD1A1内与

l平行的任意直线都与平面D1EF平行,这样的直线有无数条.

5.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )

A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形 B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形 D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形

【解析】选B.如图,由题意知EF∥BD,且EF=BD;HG∥BD,且HG=BD. 所以EF∥HG,且EF≠HG,则四边形EFGH是梯形. 又EF∥平面BCD,而EH与平面ADC不平行. 故选B.

6.(2013·某某模拟)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )

A.①③B.①④C.②③D.②④

【解析】选B.对图①,可通过面面平行得到线面平行.对图④,通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP,故选B. 7.已知a,b表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b B.若a∥b,a⊂α,b⊂β,则α∥β

- 2 - / 9

word

C.若a∥b,α∩β=a,则b∥α或b∥β D.若直线a与b异面,a⊂α,b⊂β,则α∥β

【解析】选C.A:a与b还可能相交或异面,此时a与b不平行,故A不正确;B:α与β可能相交,此时设α∩β=m,则a∥m,b∥m,故B不正确;D:α与β可能相交,如图所示,

故D不正确.

8.(能力挑战题)如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A,F重合),则下列命题中正确的是( )

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上; ②BC∥平面A′DE;③三棱锥A′-FED的体积有最大值. A.①B.①② C.①②③D.②③

【思路点拨】注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变. 【解析】选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC, 所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.

②BC∥DE,BC⊄平面A′DE,DE⊂平面A′DE,所以BC∥平面A′DE.③当平面 A′DE⊥平面ABC时,三棱锥A′-FED的体积达到最大. 二、填空题(每小题5分,共20分)

9.(2014·某某模拟)已知a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系为. 【解析】在α内可以存在直线与a异面,故b可以在面α内,可以平行于α,也可与α相交. 答案:b∥α或b⊂α或b与α相交

10.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为.

【解析】设截面四边形为EFGH,F,G,H分别是BC,CD,DA的中点,所以EF=GH=4,FG=HE=6,所以周长为2×(4+6)=20. 答案:20

- 3 - / 9

word

11.在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G为重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=.

【解析】在△ABC中,由余弦定理知BC=,因为BC∥α,所以MN∥BC.

又G是△ABC的重心,

所以MN=BC=.

答案:

【加固训练】如图,已知平面α,β,γ,且α∥β∥γ,直线a,b分别与平面α,β,γ交于点A,B,C和D,E,F,若AB=1,BC=2,DF=9,则EF=. 【解析】因为AB=1,BC=2,DF=9, 若A,B,C,D,E,F六点共面, 由面面平行的性质定理可得 AD∥BE∥CF,

根据平行线分线段成比例定理可得:

=,则=.

所以EF=6,

若A,B,C,D,E,F六点不共面, 连接AF,交β于M. 连接BM,EM,

因为β∥γ,平面ACF分别交β,γ于BM,CF, 所以BM∥CF.

所以=,同理,=,

所以=,则=,

所以EF=6. 综上所述:EF=6. 答案:6

- 4 - / 9

word

12.(2014·某某模拟)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于. 【解析】因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD, 平面ABCD∩平面AB1C=AC, 所以EF∥AC,所以F为DC的中点,

故EF=AC=答案:

.

三、解答题(13题12分,14～15题各14分)

13.如图,在三棱锥A-BCD中,F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,G为DE的中点.证明:直线HG∥平面CEF.

【思路点拨】本题可以在平面CEF内找直线与HG平行,也可构造两平面平行,利用面面平行的性质证明线面平行.

【证明】方法一:如图,连接BH,BH与CF交于K,连接EK. 因为F,H分别是AB,AC的中点,

所以K是△ABC的重心,得=.

又据题设条件知=,

- 5 - / 9

word

所以=,所以EK∥GH.

因为EK⊂平面CEF,GH⊄平面CEF, 所以直线HG∥平面CEF.

方法二:如图,取CD的中点N,连接GN,HN.

因为G为DE的中点,所以GN∥CE. 又因为CE⊂平面CEF,GN⊄平面CEF, 所以GN∥平面CEF. 连接FH,EN,

因为F,E,H分别是棱AB,BD,AC的中点,

所以FHBC,ENBC,所以FHEN,

则四边形FHNE为平行四边形,所以HN∥EF. 因为EF⊂平面CEF,HN⊄平面CEF, 所以HN∥平面CEF.因为HN∩GN=N, 所以平面GHN∥平面CEF. 因为GH⊂平面GHN, 所以直线HG∥平面CEF.

14.(2013·某某模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

- 6 - / 9

word

【解析】当Q为CC1的中点时, 平面D1BQ∥平面PAO, 证明如下:

因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点, 所以QB∥PA.

因为P,O分别为DD1,DB的中点, 所以D1B∥PO,

又因为D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO, QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO, 所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B∩QB=B,D1B,QB⊂平面D1BQ, 所以平面D1BQ∥平面PAO.

15.(能力挑战题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点. (1)若E为A1C1的中点,求证:DE∥平面ABB1A1.

(2)若E为A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,求的值.

【解析】(1)取B1C1中点G,连接EG,GD, 则EG∥A1B1,DG∥BB1,

又EG∩DG=G,所以平面DEG∥平面ABB1A1,

- 7 - / 9

word

又DE⊂平面DEG, 所以DE∥平面ABB1A1. (2)设B1D交BC1于点F, 则平面A1BC1∩平面B1DE=EF. 因为A1B∥平面B1DE,A1B⊂平面A1BC1,

所以A1B∥EF.所以=.

又因为==,所以=.

【加固训练】如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,PD=DC=4,AD=2,E为PC的中点. (1)求三棱锥A-PDE的体积.

(2)AC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM?若存在,求出AM的长;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PD⊥AD. 又因四边形ABCD是矩形,所以AD⊥CD. 因PD∩CD=D,所以AD⊥平面PCD, 所以AD是三棱锥A-PDE的高. 因为E为PC的中点,且PD=DC=4,

所以S△PDE=S△PDC=×=4.

又AD=2,

所以VA-PDE=AD·S△PDE=×2×4=. (2)取AC中点M,连接EM,DM.如图所示,

- 8 - / 9

word

因为E为PC的中点,M是AC的中点, 所以EM∥PA.

又因为EM⊂平面EDM,PA⊄平面EDM, 所以PA∥平面EDM.

所以AM=AC=.

.

即在AC边上存在一点M,使得PA∥平面EDM,且AM的长为

- 9 - / 9