(完整版)初中函数概念大全

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是 x 的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点

（1） 解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2） 列表法

把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3） 图像法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1） 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2） 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3） 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

一次函数和正比例函数

1、一次函数的概念：一般地，如果 y  kx  b （k，b 是常数，k  0），那么 y 叫做 x 的一次函数。

特别地，当一次函数 y  kx  b 中的 b 为 0 时， y  kx （k 为常数，k  0）。这时，y 叫做 x 的正比例函数。

2、一次函数、正比例函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线

一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点（0，b）的直线(b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在 y 轴 上的截距)；正比例函数 y  kx 的图像是经过原点（0，0）的直线。

k  tany2  y1 3、斜率： x2  x1

y P(x0 y0) d B(x2, y2) b 1

A(x1, y1) y=kx+b ①直线的斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) ②由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式:

y  kx  b  (tan)x  b 

y2  y1

x(x  x )  y

x2  x1

1

a 0 x

x y   1 y x 轴和 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式： a b ③由直线在

ly  k1 x  b1④设两条直线分别为， 1 ：

l2 ：

l1  l2  k1  k2  1 y  k2 x  b2 若 Y

若 l1 // l2 ，则有l1 // l2  k1  k2 且b1  b2 。 ⑤点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:

4、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用

kx  y  b kx  y  b 0 0 0 0 d   222k  (1) k  1 A 此方法拓展思路，以 X B

寻求解题方法）

如图：点 A 坐标为（x1，y1）点 B 坐标为（x2，y2）

1  x  y 则 AB 间的距离，即线段 AB 的长度为 x2  y 1 2

2

2

5、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 y  kx （k  0）中的常数 k。确定一个一次函数，需要确定一

次函数定义式 y  kx  b （k  0）中的常数 k 和 b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

6、（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于 y 轴。

（2） 当 k>0 时，图象过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）； （3） 当 k<0 时，图象过二、四象限，y 随 x 的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）； （4） 当 b>0 时，与 y 轴的交点（0，b）在正半轴；当 b<0 时，与 y 轴的交点(0,b)在负半轴。当 b＝0 时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5） 几条直线互相平行时 ，k 值相等而 b 不相等。

反比例函数

1、反比例函数的概念

一般地，函数 y  （k 是常数，k  0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 y  kx 1 的形式。自变

k

x

量 x 的取值范围是 x  0 的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数，也可写成 xy=k(k 是常数，k≠0)

反比例函数中，两个变量成反比例关系：由 xy=k，因为 k 为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以 y 与 x 成反 比变化，而正比例函数 y=kx(k≠0)是正比例关系：由 =k (k≠0)，因为 k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。

y

x

2、反比例函数 y= (k≠0)的图象的画法

k

x

画图方法：描点法。

由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。(在每一象限内，从左向右上升)．因此，它的增减性与一次函数相反．反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称。

特点：y= =kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴ y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。但无限靠近 x 轴、y

k

x

轴。画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。

3、反比例函数的性质和图像 反比例 函数 k 的符 号 k y (k 0) x k>0 k<0 y 图像 y O x O x 性质 ①x 的取值范围是 x  0， y 的取值范围是 y  0； ②当 k>0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 ①x 的取值范围是 x  0， y 的取值范围是 y  0； ②当 k<0 时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定

确定的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y 一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何的意义

k x

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的

(k  0) 图像上任一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，则所得的矩形 PMON 的面积 x k

S=PM • PN= y • x xy  y , xy  k, S  k

x 

如下图，过反比例函数 y 

k

二次函数

1、二次函数的概念：一般地，如果 y  ax 2  bx  c(a, b, c是常数，a  0) ，那么 y 叫做 x 的二次函数。

y  ax 2  bx  c(a, b, c是常数，a  0) 叫做二次函数的一般式。

b

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 x  对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

2a

3、二次函数图像的画法 五点法：

（1） 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 （2） 求抛物线 y  ax 2  bx  c 与坐标轴的交点：

当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与 x 轴只有一个或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像

4. 求抛物线的顶点、对称轴的方法

2b  4ac  b 2  b 4ac  b ），对称轴是直线 x   b （1） 公式法： y  ax  bx  c  ，∴顶点是（，  a x

2a 4a 2a 4a  2a 

2

2

（2） 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y  a

x  h2  k 的形式，得到顶点为( h , k )，对称轴是直

x1  x2 2 线 x  h . （3） 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已知抛物

线上两点(x , y)、(x , y) （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： x 

1

2

25. 抛物线 y  ax  bx  c 中， a, b, c 的作用

（1） a 决定开口方向及开口大小①当 a  0 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当 a  0 时，抛物线开口向下； 顶点为其最高点。 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. a 越大，图像开口越小， a 越小，图像开口越大。

② 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x  h .特别地， y 轴记作直线 x  0 .

（2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y  ax 2  bx  c 的对称轴是直线 x  

故：① b  0 时，对称轴为 y 轴；

b

，

a

b

③  0 （即 a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧. a

②  0 （即 a 、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；

b

2a

（3） c 的大小决定抛物线 y  ax 2  bx  c 与 y 轴交点的位置.当 x  0 时， y  c ，∴抛物线 y  ax 2  bx  c 与

y 轴有且只有一个交点（0， c ）：① c  0 ，抛物线经过原点; ② c  0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c  0 ,与 y 轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则

6、二次函数的解析式有三种形式：

（1） 一般式： y  ax 2  bx  c(a, b, c是常数，a  0)

b a

 0 .

（2） 顶点式： y  a(x  h)2  k (a, h, k是常数，a  0)

（3） 交点式：当抛物线 y  ax 2  bx  c 与 x 轴有交点时，即对应二次好方程 ax 2  bx  c  0 有实根 x 和 x 2存在 1

2时，根据二次三项式的分解因式 ax 2  bx  c  a(x  x 1 )(x  x 2 ) ，二次函数 y  ax  bx  c 可转化为两根式

y  a(x  x1 )(x  x2 ) 。如果没有交点，则不能这样表示。几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 （0,0） y  ax 2 x  0 （ y 轴）

y  ax 2  k y  ax  h 2当 a  0 时开口向上当 a  0 时开口向下 x  0 （ y 轴） x  h x  h (0, k ) ( h ,0) ( h , k ) y  ax  h k 2

y  ax  bx  c b 2 4ac  b2 y  a(x  ) 2a 4a 2 bx   2a b 4ac  b 2 (  ， ) 2a 4a 7、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 x   b

时，

2a

4ac  b 2 y最值 

4a

。

b

如果自变量的取值范围是 x1  x  x2 ，那么，首先要看

2a

是否在自变量取值范围 x1  x  x2 内，若在此范围内，

b 4ac  b 2

则当 x=  时， y最值 ；若不在此范围内，则需要考虑函数在 x1  x  x2 范围内的增减性，如果在此范围

2a 4a

内，y 随 x 的增大而增大，则当 x  x 时， y

2

最大

 ax 2  bx  c ，当 x  x 时， y

2

2

1

最小

 ax 2  bx  c ；如果在此范围

1

1

内，y 随 x 的增大而减小，则当 x  x 时， y

8、二次函数的图象

1

 ax  bx  c ，当 x  x 时， y

1

1

2

最小

2

最大

 ax  bx c 。

2 2 

2

y 0 x

函数 二次函数 y  ax 2  bx  c(a, b, c是常数，a  0) a>0 a<0 y 图像 0 1 （1） 抛物线开口向上，并向上无限延伸； （2） 对称轴是 x=  x （1） 抛物线开口向下，并向下无限延伸； （2） 对称轴是 x=  b ， 2a b ， 2a 2b 4ac  b 顶点坐标是（  ， ）； 4a 2a 2b 4ac  b 顶点坐标是（  ， ）； 4a 2a （3） 在对称轴的左侧，即当 x<  b 时，y 随 x 2a （3）在对称轴的左侧，即当 x<  b 时，y 随 2a 性质 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x>  b x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x>  时，y 随 x 的增大而减小，简记左 时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右 b 2a 增； （4）抛物线有最低点，当 x=  2a 增右减； b 时，y 有最小 （4）抛物线有最高点，当 b x=  时，y 有最 2a 2a 4ac  b 2 大值， y最大值  4a4ac  b 2 值， y最小值  4a9. 抛物线的交点

（1） y 轴与抛物线 y  ax 2  bx  c 得交点为(0, c ).

（2）抛物线与 x 轴的交点：二次函数 y  ax 2  bx  c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、 x 2 ，是对应一元二次方 1

程 ax 2  bx  c  0 的两个实数根.抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式

  b2  4ac 判定：

①有两个交点  (   0 )  抛物线与 x 轴相交；

②有一个交点（顶点在 x 轴上）  (   0 )  抛物线与 x 轴相切；

 (   0 )  抛物线与 x 轴相离. ③没有交点

（3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点

同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2  bx  c  k 的两个实数根.

（4）一次函数 y  kx  nk  0的图像l 与二次函数 y  ax 2  bx  ca  0的图像G 的交点，由方程组

y  kx  n y  ax 2  bx  c

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时

 l 与G 只有一个交点；③方程组无解时 l 与G 没有交点.

2

y  ax  bx  ca  0的图像的交点，由方程组 反比例函数 y  k  0的图像与二次函数

x

k

 ky  x

的解来确定。 

2

 y  ax  bx  c

（5）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线 y  ax 2  bx  c 与 x 轴两交点为 Ax ，0，Bx ，0，由于 x 、

1 2 1

b c

x 是方程 ax 2  bx  c  0 的两个根，故 x  x   , x  x  2 1 2

a 1 2 a

AB x1  x2  （x）（x）） x  x 2  4x1 x2  1 2 （1 22 b 2 4c b2  4ac 

   

a a a a