华东师范大学数学分析试题

一、（30分）计算题。

x2x2) 1、求lim(cosxx022、若yeln21xxsin(arctanx)),求y'.

xex3、求dx. 2(1x)4、求幂级数

nxn1n的和函数f(x).

5、L为过O(0,0)和A(6、求曲面积分

2,0)的曲线yasinx(a0)，求(xy3)dx(2y)dy.

LS(2xz)dydzzdxdy，其中zx2y2,(0z1)，取上侧.

二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）

1、若{xn,n1,2,,}是互不相等的非无穷大数列，则{xn}至少存在一个聚点

x0(,).

2、若f(x)在(a,b)上连续有界，则f(x)在(a,b)上一致连续.

11nii1)f(x)g(x)dx. 3、若f(x)，g(x)在[0,1]上可积，则limf()g(0nnnni14、若

an1n收敛，则

an12n收敛.

25、若在R上定义的函数f(x,y)存在偏导数fx(x,y)，fy(x,y) 且fx(x,y)，fy(x,y)在

(0，0)上连续，则f(x,y)在(0，0)上可微.

22226、f(x,y)在R上连续，Dr(x0,y0){(x,y)|(xx0)(yy0)r} 若

(x0,y0),r0,f(x,y)dxdy0, 则f(x,y)0,(x,y)R2.

Dr三、（15分）函数f(x)在(,).上连续，且limf(x)A, 求证：f(x)在(,).上

x有最大值或最小值。

四、（15分）求证不等式:21x,x[0,1].

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单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。五、设fn(x)，n1,2,在[a,b]上连续，且fn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).若x[a,b]，f(x)0.求证:N,0,使

x[a,b]，nN，fn(x).

六、（15分）设{an}满足（1）0ak100an,nk1,k2,;（2）级数

an1n收敛.

这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料，写起文章来还用乱翻参考书吗? 求证:limnan0.

n七、（15分）若函数f(x)在[1,)上一致连续，求证：

3f(x)在[1,)上有界. x八、（15分）设P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在R有连续偏导数，而且对以任意点

(x0,y0,z0)为中心，以任意正数rSr:(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2,zz0,

恒有

为半径的上半球面

SrP(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy0.

求证: (x,y,z),R(x,y,z)0,Px(x,y,z)Qy(x,y,z)0.

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