(完整版)高等代数(下)期终考试题及答案(B卷)

一．填空题（每小题3分，共21分）

221. 在P[x]3中,x-2x-3在基1,(x-1),(x-1)下的坐标为

2. 设n阶矩阵A的全体特征值为1,2,,n，f(x)为任一多项式，则f(A)的

全体特征值为 .

3.在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换A:A(f(x))f(x),则A的值域

AP[x]n=,A的核A1(0)=

1 0 04．已知3阶λ-矩阵A（λ）的标准形为0  0，则A（λ）的不变

0 02因子________________________； 3阶行列式因子 D3 =_______________.

5. 若4阶方阵A的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A的若当标准形

J=

6.在n维欧氏空间V中，向量在标准正交基1,2,(x1,x2,,xn)，那么(,i)＝

,n下的坐标是

7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ．

二. 选择题( 每小题2分，共10 分)

1.( ) 已知V{(abi,cdi)a,b,c,dR}为R上的线性空间， 则dim(V)为

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4

2. ( ) 下列哪个条件不是n阶复系数矩阵A可对角化的充要条件 (A) A有n个线性无关的特征向量； (B) A的初等因子全是1次的； (C) A的不变因子都没有重根； (D) A有n个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A的特征多项式为f()32223，则|A|

1

(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设1(0,1,1),2(2,1,2),k12，若与2正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R3的子空间

(A) w1{(x1,x2,x3)R3|x21} (B) w2{(x1,x2,x3)R3|x30} (C) w3{(x1,x2,x3)R3|x1x2x3} (D) w4{(x1,x2,x3)R3|x1x2x3}

三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共12分)

1.( )设VPnn，则W{AAPnn,A0}是V的子空间. 2.( ）1,2,,n是n维欧氏空间的一组基，矩阵Aaijnn，其中

aij(i,j)，则A是正定矩阵. 3．( ) 若n维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 4．（ ）在线性空间R2中定义变换σ：(x,y)(1x,y)，则σ是R2的一个线性变换. 5.（ ）设V是一个欧氏空间，,V，并且，则与 正交。 6. ( ）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是A()0.

四.计算题（3小题，共30分）

1．已知关于基1,2,3的坐标为（1，0，2），由基 1,2,3 到基1,2,3的

324过渡矩阵为100, 求关于基1,2,3的坐标. (8分)

2102. 设V是数域P上一个二维线性空间, 1,2和1,2是V的两组基, V的线性

21,变换Α在基12下的矩阵为 ,又从基1,2到基 1,2的过渡矩阵为

1011, 求Α在基 1,2下的矩阵. (8分) 123. 用正交线性替换XTY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T:

2

22 f(x)x122x22x34x1x24x1x38x2x3 (14分)

五. 证明题 (每题9分，共27分)

1. 设V为数域P上的n维线性空间，1,2,,n为V的一组基, 证明

V= L(1,12,,12n) .

2．设1,2,,n为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V中任意向量都有

(,1)1(,2)2,nn

3. 设,都是数域P上线性空间V的线性变换, 且, 证明Ker()都是的不变子空间.

答案

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2006 高等代数（下）试题解答一、填空题（每小题3 分，共21 分）1、在P[x]23中，x2x3在基1,(x1),(x1)2下的坐标为(-4, 0, 1)。x22x34(x1)22、设n 阶矩阵A 的全体特征值为1,2,,n.f(x)为任一多项式，则f(A)的全体特征值为f(1),...,f(n) 幻灯片 2

3

Im()和

一、填空题（每小题3 分，共21 分）3、在数域P上的线性空间P[x]n中,定义线性变换A:A(f(x))f(x),则A的值域AP[x]n=P[x]n-1,A的核A1(0)=P1 0 04、已知3 阶λ-矩阵A（λ）的标准形为0  00 021，λ，λ(λ+1) ；则A（λ）的不变因子________________________λ(λ+1) 3 阶行列式因子D3 =_______________.2

4

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一、填空题（每小题3 分，共21 分）5、若4 阶方阵A 的初等因子是(λ-1)2, (λ-2), (λ-3)，1 则A 的若当标准形J=1 1 2 36、在n 维欧氏空间V 中，向量在标准正交基1,2,,n下的坐标是(x1,x2,,xn)那么(,i)xix11...xii...xnn,ix11,i...xii,i...xnn,i

一、填空题（每小题3 分，共21 分）7、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是这两个欧氏空间有相同的维数二、选择题（每小题2 分，共10 分）1、( ) D已知V{(abi,cdi)a,b,c,dR}为R 上的线性空间，则dim(V) 为（A）1; （B）2; （C）3; （D）42、（D）下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A可对角化的充要条件：(A)A有n个线性无关的特征向量；(B) A的初等因子全是1次的；(C) A的不变因子都没有重根；(D) A有n个不同的特征根。

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二、选择题（每小题2 分，共10 分）3、（）设三阶方阵A 的特征多项式为，则|A|f()32223（A）1；（B）2；（C）3；（D）-3 D111313f()12222113113A122322或由：E（P296）AntrAn1...1A3n1A3A3

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二、选择题（每小题2 分，共10 分）4、（C）设1(0,1,1),2(2,1,2),k12若与2正交，则A）下列子集哪个不是R3 的子空间（A）k=1；（B）k=4；（C）k= 3；（D）k=2 5、（Aw1{x1,x2,x3R3|x21};Bw2{x1,x2,x3R3|x30}Cw3{x1,x2,x3R3|x1x2x3};Dw4{x1,x2,x3R3|x1x2x3}

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三、判断题（对的打“√”,错的打“X”,每小题2 分,共12 分）1、（）设VPnn，则W{AAPnn,A0}是V 的子空间。A0,B0AB02、（√）1,2,,n是n 维欧氏空间的一组基，矩阵Aaijnn，其中aij(i,j)，则A 是正定矩阵。3、（√）若n 维向量空间Pn含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量。

三、判断题（对的打“√”,错的打“X”,每小题2 分,共12 分）4、（）在线性空间R2 中定义变换：(x,y)(1x,y)则是R2 的一个线性变换。2(x,y)(12x,2y)2(1x,y)2(x,y)5、（√）设V 是一个欧氏空间，,V，并且则与正交。,,,,,06、（）λ－矩阵A(λ) 可逆的充要条件是A()0

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四、计算题（3 小题，共30 分）1、已知关于基1,2,3的坐标为（1，0，2），由基31,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为12求关于基2011,2,31解：1,2,302的坐标。（6 分）32411,2,310002102111,2,312的坐标是11,1,2400得关于基1,2,3

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1,2和2、设V 是数域P上一个二维线性空间，是V 的两组基, V 的线性变换在基1,2下的矩阵为1,22A11，又从基01,2到基1,的过渡矩阵为211P在基1,2下的矩阵。（8 分），求21解：1,21,2P1,2P1,2AP1,2P1AP11111,2012011,即求在基下的矩阵为011211,211212111

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3、用正交线性替换XTY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T.（16 分）222 f(x)x12x22x34x1x24x1x38x2x312 2解：二次型的矩阵A224242解EA0,得A 的特征值17,232对17,由(7EA)X0,得一特征向量: 1=(-1,-2,2)对232,由(2EA)X0,得两线性无关特征向量:,3=(2,0,1)2=(-2,1,0)

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3、用正交线性替换XTY化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵T.（16 分）222 f(x)x12x22x34x1x24x1x38x2x3解：. . . . . .,3=(对2,3正交化得: 2=(-2,1,0)对1,2,3单位化得:1324,,1)551(,2221245,), 2=(-,,0), 3=(,,)33553535357令T1,2,3,则T是正交矩阵且T1ATTAT 2 2作正交线性替换X=TY ，则二次型化为标准形：222 fxgy7y12y22y3

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五、证明题（每题9 分，共27 分）1,2,1、设V 为数域P上的n 维线性空间，为V 的一组基，证明VL1,12,,n,12n证明:考虑k11k2(12)kn(12n)0(k1k2...kn)1(k2...kn)2knn0因为1,2,,n是V 的一组基，故线性无关，k1k2...kn0 k...k02n于是只有而此方程组只有零解，  kn0故n 个向量1,12,,12n线性无关，所以可作为V 的一组基，即VL1,12,,12n

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五、证明题（每题9 分，共27 分）1,2,1、设V 为数域P上的n 维线性空间，为V 的一组基，证明VL1,12,证法二：,n111记作1,2,1,2,,nA01,n是线性无关组，因为A 是可逆矩阵，而1,2,所以n 个向量1,12,,12n也是线性无关的，从而可作为V 的一组基，即VL1,12,,12n

1,12,10,n01,12n,12n 10

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2、设1,2,,n为n 维欧氏空间V的一组基，证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是：对V 中任意,n向量，都有(,1)1(,2)2n证明：（必要性）若1,2,,n是V的一组标准正交基，则对V 中任意向量,有x11x22xnn,ix11,ix22,ixnn,ixi(,1)1(,2)2,nn(,1)1(,2)2,nni,i(i,1)1(i,2)2i,nn(i,1)1(i,i)1ii,nn0由1,...i,...n的线性无关性，得(i,j)0ij,(i,i)1所以1,2,,n是V的一组标准正交基。均有（充分性）设对V 任一向量

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3、设,都是数域P 上线性空间V 的线性变换，且证明：Im()和Ker()都是—子空间。,证明：（1）Im,?往证：V使Im所以Im是—子空间。0往证：因00（2）Ker,Ker所以Ker是—子空间。

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