数 学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为( ). A.2 B.3 C.5 D.7 【答案】B
【解析】∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},
∴M∩N={1,2,6},
∴M∩N中元素的个数为3,故选B. 2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=( ). A. B. C.- D.-
5
5
5
5
4
3
3
4
【答案】D
【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,则r=√(-4)2+32=5,
∴由余弦函数的定义,得cos α=𝑟=-5,故选D. 3.不等式组{
𝑥(𝑥+2)>0,
的解集为( ).
|𝑥|<1
𝑥
4
A.{x|-2 𝑥(𝑥+2)>0,① |𝑥|<1,② 由①得,x<-2或x>0, 由②得,-1 A. B. 61 1√3√3 C. D. 633 【答案】B 【解析】如图所示,取AD的中点F,连EF,CF,则EF∥BD, ∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成 的角∠CEF. - 1 - 由题知,△ABC,△ADC为正三角形,设AB=2,则CE=CF=√3,EF=BD=1. 2 1 ∴在△CEF中,由余弦定理, 得cos∠CEF= 3 𝐶𝐸2+E𝐹2-C𝐹2 2𝐶𝐸·𝐸𝐹 = (√3)2+12-(√3)2 2×√3×1= √3,故选6 B. 5.函数y=ln(√𝑥+1)(x>-1)的反函数是( ). A.y=(1-ex)3(x>-1) B.y=(ex-1)3(x>-1) C.y=(1-ex)3(x∈R) D.y=(ex-1)3(x∈R) 【答案】D 【解析】由y=ln(√𝑥+1),得ey=√𝑥+1, ∴√𝑥=ey-1,x=(ey-1)3,∴f-1(x)=(ex-1)3. ∵x>-1,∴y∈R,即反函数的定义域为R. ∴反函数为y=(ex-1)3(x∈R),故选D. 6.已知a,b为单位向量,其夹角为60°,则(2a-b)·b=( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】由已知得|a|=|b|=1, ∴(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos 7.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ). A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【答案】C 12【解析】从6名男医生中选出2名有C6种选法,从5名女医生中选出1名有C5种选法, 21 故共有C6·C5=2×1×5=75种选法,选C. 6×5 3 3 3 8.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( ). A.31 B.32 C.63 D.64 【答案】C 【解析】∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得 S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, ∴(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选C. 9.已知椭圆C:𝑎2+𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为3,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为( ). A.3+ 𝑥2 𝑦22 𝑥2 𝑦2 √3=1 B.3+y=1 C.12+ 𝑥2 2 𝑥2𝑦28 =1 D.12+ 𝑥2𝑦24 =1 - 2 - 【答案】A 【解析】∵ ∴= 𝑎𝑐 𝑥2𝑎 +2 𝑦2𝑏 =1(a>b>0)的离心率为2 ∶√3. √3 , 3 √3 ,∴a∶b∶c=3∶√63 又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点, △AF1B的周长为4√3, ∴4a=4√3,∴a=√3. ∴b=√2,∴椭圆方程为 𝑥23 𝑦22 + =1,选A. 10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ). A. 81π4 B.16π C.9π D. 27π4 9 【答案】A 【解析】由图知,R2=(4-R)2+2,∴R2=16-8R+R2+2,∴R=4, ∴S表=4πR2=4π×16= 𝑥2 𝑦2 81 814 π,选A. 11.双曲线C:𝑎2−𝑏2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C的焦距等于( ). A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 【答案】C 【解析】∵e=2,∴𝑎=2. 设焦点F2(c,0)到渐近线y=𝑎x的距离为√3, 渐近线方程为bx-ay=0,∴√∵c2=a2+b2,∴b=√3. 由=2,得𝑎𝑐 𝑐√𝑐2-𝑏2𝑐2𝑐2-3 |𝑏𝑐-𝑎×0|𝑏2+𝑎2𝑏 𝑐 =√3. =2,∴=4, 解得c=2.∴焦距2c=4,故选C. 12.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( ). A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】D 【解析】∵奇函数f(x)的定义域为R,∴f(-x)=-f(x),且f(0)=0. ∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2). ∴f[(x+2)+2]=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x),即f(x+4)=-f(x). ∴f(x+8)=f[(x+4)+4]=-f(x+4)=-(-f(x))=f(x). ∴f(x)是以8为周期的周期函数, - 3 - ∴f(8)=f(0)=0,f(9)=f(8+1)=f(1)=1. ∴f(8)+f(9)=0+1=1.故选D. 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.(x-2)6的展开式中x3的系数为 .(用数字作答) 【答案】-160 36-333 【解析】由通项公式得T4=C6x(-2)3=-8C6x, 3 故展开式中x3的系数为-8C6=-8× 6×5×43×2×1 =-160. 14.函数y=cos 2x+2sin x的最大值为 . 【答案】 23 【解析】∵y=cos 2x+2sin x=1-2sinx+2sin x=-2(sin𝑥-2)+2, ∴当sin x=时,ymax=. 2 2 1 3 2 12 3 𝑥-𝑦≥0, 15.设x,y满足约束条件{𝑥+2𝑦≤3,则z=x+4y的最大值为 . 𝑥-2𝑦≤1,【答案】5 【解析】画出x , y的可行域如图阴影区域. 由z=x+4y,得y= - x+. 4 41 𝑧 先画出直线y=-4x,再平移直线y=-4x, 当经过点B(1,1)时,z=x+4y取得最大值为5. 16.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 . 【答案】 34 11 【解析】如图所示,设l1与圆O:x2+y2=2相切于点B, l2与圆O:x2+y2=2相切于点C, 则OB=√2,OA=√10,AB=2√2. ∴tan α= 𝑂𝐵𝐴𝐵 √22√212 ==. 2tan𝛼1−tan2α ∴tan∠BAC=tan 2α= = 1211−4 2× =. 3 4 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. - 4 - 17.(本小题满分10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. 分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式. (1)可用定义证明bn+1-bn=2(常数)即可. (2)利用(1)的结果,求出{bn}的通项公式及an+1-an的表达式,再用累加法可求数列{an}的通项公式. (1)证明:由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以{bn}是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)得bn=1+2(n-1), 即an+1-an=2n-1. 于是∑(ak+1-ak)=∑(2k-1), 𝑘=1 𝑘=1 𝑛 𝑛 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以{an}的通项公式为an=n2-2n+2. 18.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3acos C=2ccos A, tan A=,求B. 31 分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系, 再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C. 根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B,即可求角B. 解:由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因为tan A=3,所以cos C=2sin C,tan C=2. 所以tan B=tan[180°- (A+C)]= - tan(A+C) = tan𝐴+tan𝐶tan𝐴tan𝐶-1 1 1 =-1, 即B=135°. 19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2. (1)证明:AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为√3,求二面角A1-AB-C的大小. - 5 - 分析:解法一:(1)由已知可证平面AA1C1C⊥平面ABC,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直. (2)为利用已知,先寻找并证明AA1与平面BCC1B1的距离为A1E.再由三垂线定理,确定二面角A1-AB-C的平面角为∠A1FD.最后通过解直角三角形求出∠A1FD的正切值, 即可得出二面角的大小. 解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解. (1)设出A1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直. (2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小. 解法一:(1)证明:因为A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C, 故平面AA1C1C⊥平面ABC. 又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C. 连结A1C.因为侧面AA1C1C为菱形,故AC1⊥A1C. 由三垂线定理得AC1⊥A1B. (2)BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1, 故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1. 作A1E⊥CC1,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1. 又直线AA1∥平面BCC1B1, 因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离,A1E=√3. 因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A1E=√3. 作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F.由三垂线定理得A1F⊥AB, 故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角. 2 由AD=√𝐴𝐴1-𝐴1𝐷2=1得D为AC中点, DF=× 2 1𝐴𝐶×𝐵𝐶𝐴𝐵 = √5𝐴1D ,tan∠A1FD=𝐷𝐹5 =√15. 所以二面角A1-AB-C的大小为arctan √15. 解法二:以C为坐标原点,射线CA为x轴的正半轴,以CB的长为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由题设知A1D与z轴平行,z轴在平面AA1C1C内. (1)证明:设A1(a,0,c),由题设有a≤2,A(2,0,0),B(0,1,0), ⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵=(-2,1,0),⃗𝐴𝐶𝐴𝐴1=(a-2,0,c), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶1=𝐴𝐶+𝐴𝐴1=(a-4,0,c),𝐵𝐴1=(a,-1,c). 由|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴1|=2得√(𝑎-2)2+𝑐2=2, 即a2-4a+c2=0.① - 6 - 22⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 于是⃗𝐴𝐶𝐵𝐴1·1=a-4a+c=0,所以AC1⊥A1B. ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m⊥𝐵𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (2)设平面BCC1B1的法向量m=(x,y,z),则m⊥𝐶𝐵1, ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m·⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即m·𝐶𝐵𝐵𝐵1=0. ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 因𝐶𝐵𝐵𝐵1=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴1=(a-2,0,c), 故y=0,且(a-2)x+cz=0. 令x=c,则z=2-a,m=(c,0,2-a),点A到平面BCC1B1的距离为 ⃗⃗⃗⃗ |·⃗⃗⃗⃗ >|=|CA·𝑚|=|⃗𝐶𝐴|cos 2𝑐√𝑐2+(2−a)2 = c. 又依题设,A到平面BCC1B1的距离为√3,所以c=√3. 代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴1=(-1,0,√3). 设平面ABA1的法向量n=(p,q,r), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 则n⊥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐴1,n⊥⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵,即n·𝐴𝐴1=0,n·𝐴𝐵=0, -p+√3r=0,且-2p+q=0. 令p=√3,则q=2√3,r=1,n=(√3,2√3,1). 又p=(0,0,1)为平面ABC的法向量, 故cos 𝑛·𝑝|𝑛||𝑝| =. 4 1 1 所以二面角A1-AB-C的大小为arccos4. 20.(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值. 分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求. (2)由(1)分析k的可能取值情况,比较即得结果. 解:记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用设备, C表示事件:丁需使用设备, D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备, E表示事件:同一工作日4人需使用设备, F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A1·B·C+A2·B+A2·𝐵·C, 𝑖 P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C2×0.52,i=0,1,2, 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·𝐵·C) - 7 - =P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·𝐵·C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(𝐵)P(C) =0.31. (2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1. 又E=B·C·A2, P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06. 若k=3,则P(F)=0.06<0.1. 所以k的最小值为3. 21.(本小题满分12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围. 分析:(1)由于导函数的判别式含参数a,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a进行二重讨论. (2)根据f(x)在(1,2)上是增函数可列出关于a的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论. 解:(1)f'(x)=3ax2+6x+3,f'(x)=0的判别式Δ=36(1-a). ①若a≥1,则f'(x)≥0,且f'(x)=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f(x)在R上是增函数. ②由于a≠0,故当a<1时,f'(x)=0有两个根: x1= -1+√1−𝑎𝑎 -1-√1−𝑎𝑎 ,x2=. 若0 (2)当a>0,x>0时,f'(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时,f(x)在区间(1,2)是增函数. 当a<0时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得 - ≤ a<0. 45 综上,a的取值范围是[-,0)∪(0,+∞). 4 5 22.(本小题满分12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=4|PQ|. (1)求C的方程; (2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程. 5 - 8 - 分析:(1)设出Q点坐标,利用|QF|=|PQ|列出关于p的方程,借助于p的几何意义及抛物 4 5 线的性质确定p. (2)通过题设分析判断直线l与x轴不垂直.因直线l过F(1,0),可设l的方程为x=my+1(m≠0). 直线l方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y1+y2,y1y2关于m的表达式,借助弦长公式得|AB|=√𝑚2+1|y1-y2|(其中A(x1,y1),B(x2,y2)),同理可得|MN|=√1+𝑚2|y3-y4|(其中M(x3,y3),N(x4,y4)). 由题目中的A,M,B,N四点在同一圆上得到关于m的方程,进而求出m,得到直线l的方程. 解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=𝑝. 所以|PQ|=𝑝,|QF|=2+x0=2+𝑝. 由题设得 + 2𝑝 8𝑝 8 𝑝 𝑝 88 1 =×, 4 𝑝 58 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C的方程为y2=4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直, 故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 故AB的中点为D(2m2+1,2m), |AB|=√𝑚2+1|y1-y2|=4(m2+1). 又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-𝑚y+2m2+3. 将上式代入y2=4x,并整理得y2+𝑚y-4(2m2+3)=0. 设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-𝑚,y3y4=-4(2m2+3). 故MN的中点为E(𝑚2+2𝑚2+3,−𝑚), |MN|=√1+𝑚2|y3-y4|= 1 2 2 44 1 4(𝑚2+1)√2𝑚2+1𝑚2. 由于MN垂直平分AB, 故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=2|MN|, 从而4|AB|2+|DE|2=4|MN|2, 即4(m+1)+(2𝑚+𝑚)+(𝑚2+2)=化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1. 2 2 1 11 22 2 2 4(𝑚2+1)2(2𝑚2+1) 𝑚4 , - 9 - 所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. - 10 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容