宁远县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 如图，长方形ABCD中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB．在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）

A． B．1﹣ C． D．1﹣

2． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A．80 B．40 C．60 D．20

3． 若某算法框图如图所示，则输出的结果为（ ）

A．7 B．15 C．31 D．63

4． 若不等式1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，则4a﹣2b的取值范围是（ ） A．[5，10]

B．（5，10）

C．[3，12]

D．（3，12）

个单位，所得函

5． 将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移数图象的一条对称轴方程是（ ） A．x=π B．

C．

D．

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6． 以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母构成分数，则这种分数是可约分数的概率是（ ） A．

B．

C．

D．

7． 已知△ABC是锐角三角形，则点P（cosC﹣sinA，sinA﹣cosB）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁UP=（ ） A．{2} B．{0，2}

C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}

2x1,x19． 设函数fx，则使得fx1的自变量的取值范围为（ ）

4x1,x1A．,20,10 B．,20,1

C．,21,10 D．2,01,10

10．在ABC中，sinAsinBsinCsinBsinC，则A的取值范围是（ ）1111] A．(0,

222] B．[,) C. (0,] D．[,) 6633

11．已知函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函数．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），则{an}的前2之和S28=（ ） A．7 12．直线A．

B．14

C．28

D．56

的倾斜角是（ ） B．

C．

D．

二、填空题

13．若非零向量，满足|

14．方程（x+y﹣1）

+

所成角的大小为 ．

=0所表示的曲线是 ．

﹣

与

|=|

|，则

15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是 ． 16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．

17．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是 ． 18．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ．

三、解答题

19．已知函数f（x0=

．

（1）画出y=f（x）的图象，并指出函数的单调递增区间和递减区间；

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（2）解不等式f（x﹣1）≤﹣．

20．设{an}是公比小于4的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知a1=1，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=lna3n+1，n=12…求数列{bn}的前n项和Tn．

21．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．

22．求下列函数的定义域，并用区间表示其结果． （1）y=（2）y=

+

．

；

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23．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？

24．设函数f（x）=x2ex． （1）求f（x）的单调区间；

（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

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宁远县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为公式可得该点取自阴影部分的概率是故选：B．

【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．

2． 【答案】B

【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， ∴三年级要抽取的学生是故选：B．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．

3． 【答案】 D

【解析】解：模拟执行算法框图，可得 A=1，B=1

满足条件A≤5，B=3，A=2 满足条件A≤5，B=7，A=3 满足条件A≤5，B=15，A=4 满足条件A≤5，B=31，A=5 满足条件A≤5，B=63，A=6

不满足条件A≤5，退出循环，输出B的值为63． 故选：D．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环A，B的值是解题的关键，属于基础题．

4． 【答案】A 【解析】解：令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b） 即

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，所以阴影部分的面积为2﹣，由几何概型

；

×200=40，

解得：x=3，y=1

即4a﹣2b=3（a﹣b）+（a+b） ∵1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4， ∴3≤3（a﹣b）≤6 故选A

y，是解答的关键．

5． 【答案】B

∴5≤（a﹣b）+3（a+b）≤10

【点评】本题考查的知识点是简单的线性规划，其中令4a﹣2b=x（a﹣b）+y（a+b），并求出满足条件的x，

【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到y=cosx，再向右平移由（x即

）=kπ，得x+2kπ，k∈Z，

，

，

个单位得到y=cos[（x=2kπ，

）]，

当k=0时，

即函数的一条对称轴为故选：B

【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．

6． 【答案】D 数，

个分

【解析】解：因为以A={2，4，6，7，8，11，12，13}中的任意两个元素分别为分子与分母共可构成

个， =

，

由于这种分数是可约分数的分子与分母比全为偶数， 故这种分数是可约分数的共有则分数是可约分数的概率为P=故答案为：D

【点评】本题主要考查了等可能事件的概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

7． 【答案】B

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【解析】解：∵△ABC是锐角三角形， ∴A+B＞∴A＞

， ﹣B，

﹣B）=cosB，

∴sinA＞sin（

∴sinA﹣cosB＞0， 同理可得sinA﹣cosC＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B

8． 【答案】A

2

【解析】解：∵x＜2 ∴﹣

＜x＜

＜x＜

，x∈Z|}={﹣1，0，1}，

2

∴P={x∈Z|x＜2}={x|﹣

又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁UP={2} 故选：A．

9． 【答案】A 【解析】

考

点：分段函数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 10．【答案】C 【

解

析

】

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考点：三角形中正余弦定理的运用. 11．【答案】C 数．

=14（a6+a23）=28．

，

【解析】解：∵函数y=f（x）对任意实数x都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数f（x）在[1，+∞）上为单调函∴函数f（x）关于直线x=1对称， ∴a6+a23=2．

∵数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）=f（a23），

则{an}的前2之和S28=故选：C． 属于中档题．

12．【答案】A

【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式、函数的对称性，考查了推理能力与计算能力，

【解析】解：设倾斜角为α， ∵直线∴tanα=

，

的斜率为

∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．

二、填空题

13．【答案】 90° ．

【解析】解：∵

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∴∴

=

∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°

【点评】本题用向量模的平方等于向量的平方来去掉绝对值．

14．【答案】 两条射线和一个圆 ．

22

【解析】解：由题意可得x+y﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分． 由方程（x+y﹣1）

=0，可得x+y﹣1=0，或 x2+y2=4，

故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆， 故答案为：两条射线和一个圆．

【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．

15．【答案】 ．

2

【解析】解：∵抛物线C方程为y=4x，可得它的焦点为F（1，0）， ∴设直线l方程为y=k（x﹣1）， 由

，消去x得

．

设A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①． ∵|AF|=3|BF|，

2

∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y2=﹣4， 2

消去y2得k=3，解之得k=±

．

故答案为：．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．

16．【答案】 （ 1，±2） ．

2

【解析】解：设点P坐标为（a，a）

依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2 a2+2=

，求得a=±2

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∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．

17．【答案】 （﹣4，0] ．

【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件； 当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立， 则满足即∴

， ，

解得﹣4＜a＜0，

综上：a的取值范围是（﹣4，0]． 故答案为：（﹣4，0]．

【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．

18．【答案】 [﹣1，3] ．

22

【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，

22

∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2

∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）图象如图所示：由图象可知函数的单调递增区间为 （﹣∞，0），（1，+∞）， 丹迪减区间是（0，1） （2）由已知可得

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或，

解得x≤﹣1或≤x≤， 故不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪ [，

]．

【点评】本题考查了分段函数的图象的画法和不等式的解集的求法，属于基础题．

20．【答案】

【解析】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＜4，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列． ∴2×3a2=a1+3+a3+4，∴6q=1+7+q，解得q=2．

2

n1

（2）由（1）可得：an=2﹣．

bn=lna3n+1=ln23n=3nln2．

∴数列{bn}的前n项和Tn=3ln2×（1+2+…+n） =

ln2．

21．【答案】

【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2）， ∴

+8

∴化为

=0， =0， =

， ，代入

=0，

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化为：∴∴θ=

或

+16， ．

﹣

cos2θ，

【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．【答案】 【解析】解：（1）∵y=∴

，

+

，

解得x≥﹣2且x≠﹣2且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣2，3）∪（3，+∞）； （2）∵y=∴

， ，

解得x≤4且x≠1且x≠3，

∴函数y的定义域是（﹣∞，1）∪（1，3）∪（3，4]．

23．【答案】

【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；

（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．

24．【答案】

【解析】解：（1）令

…

∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）； 单减区间为（﹣2，0）．… （2）令

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∴x=0和x=﹣2，… ∴

2

∴f（x）∈[0，2e]…

∴m＜0…

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