五、n项和（积）求极限：
12n−1n2.lim(2+2+⋯+2+2)= n→∞nnnn1+3+5+⋯+(2n−1)= 3.lim
n→∞2+4+6+⋯+2nn→∞
4
8
2n
11+21+2+3+⋯+n1.lim(3+3+⋯+)= 3n→∞nnn4.lim(√2∙√2∙√2⋯√2)= 1115.lim�+2+⋯+n�= n→∞222x+x2+⋯+xn−n6.lim= x→1x−17.lim
n→∞n√n!n=
1119.lim(1+2)×�1+4�×⋯×�1+2n�= n→∞22210.lim(n→∞
111++⋯+8.lim��=
n→∞n+1n+2n+n
√n61+n+
√n622+2n+⋯+
√n6n2+n2)=
六、利用洛比达法则求极限：
sinx−sina3.lim= x→ax−asinπx= 5.lim
x→14(x−1)ax−17.lim= x→0xex1.lim= x→∞x+1x−arctanx4.lim= x→0tanx−xlnsinx6.lim= π(π−2x)2x→
2xμ
2.lim= (其中μ>0) x→+∞lnxln(1−cosx)= 8.lim
x→0+lnx
七、利用函数的连续性求下列极限：
1.limarcsinx=
x→1
3.lim
sinnx= 9.lim
x→0cosmx
7.limx[lnx(1+x)−lnx]=
x→∞
sinx= 5.limln
x→0xx→∞
1ex=
x(2+sinx)= 2.lim2x→∞x+5sinx2+x4.lim= 2x→∞cosx−xarctanx11+2sin)= 6.lim(
x→∞xxx18.limx∙sin= x→0xx+310.lim2sin(x+2)= x→∞x−x七、求极限综合应用：
2, 𝑥𝑥<02,讨论 𝑥𝑥→0,𝑥𝑥→1,及𝑥𝑥→2时极限是否存在， 1.设𝑓𝑓(𝑥𝑥)=�2𝑥𝑥𝑥𝑥−2𝑥𝑥,0≤𝑥𝑥≤2 3𝑥𝑥−6, 𝑥𝑥>2并计算lim𝑓𝑓(𝑥𝑥)及lim𝑓𝑓(𝑥𝑥)。
𝑥𝑥→−∞
x→+∞
(1+𝑎𝑎)𝑥𝑥4+𝑏𝑏𝑥𝑥3+22.lim=−2,求𝑎𝑎,𝑏𝑏的值。 𝑥𝑥→∞𝑥𝑥3+𝑥𝑥2−1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛证明lim�𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎𝑚𝑚=𝑀𝑀。
n→∞
3.设ai>0(i=1,2,…,m),M=max{a1,a2,…,am},
𝑛𝑛
4.设x1>√3,xn+1
x2−4是无穷小。 6.根据定义证明：当x→2时，f(x)=
x+27.(√x+1)4(x−1)5展开式中x4的系数是多少？
xn−1(n=1,2,…),证明limxn存在，并求limxn. 5.设x1=1,xn=1+
n→∞n→∞1+xn−1
3(1+xn)(n=1,2,…),证明此数列收敛，并求出它的极限。 =
3+xn
11n
8.lim(1++2)= n→∞nn2−x29.lim()x= x→∞2x→∞
22x)x
10.lim(1−=
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