立体几何体的截面及三视图

一.圆柱的截面

用一个平面去截（分三种情形：①用与圆柱的底面平行的平面去截；②用与圆柱的底面垂直的平面去截；③用与圆柱的底面不垂直的平面去截.），观察图1，很容易得出它们分别是：圆、长方形、椭圆.

图1

二.圆锥的截面

用一个平面去截一个圆锥体，圆、三角形、椭圆.

图2

三.球的截面

用一个平面去截一个球体

图3

四.三棱锥的截面

请同学们尝试用一个平面去截一个三棱锥，试判断所截得的平面图形是什么？观察图4

图4

五.正方体的截面（需补充两面截图）

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育星教育专题导学案 1

补充：三视图或投影经典考题

公式：

空间几何体的表面积

棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

圆柱的表面积 ：S2rl2r 圆锥的表面积：S2rlr2

22SrlrRlR圆台的表面积：

球的表面积：S4R2

nR211lr=r2（其中l表示弧长，r表示半径，表示弧度） 36022扇形的面积公式S扇形空间几何体的体积 柱体的体积 ：VS底h

1S底h 3锥体的体积 ：V台体的体积 ： V（S上13SS下S) h 上下4VR3 球体的体积：

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育星教育专题导学案 2

空间几何体的三视图和直观图：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。 1、线线平行的判断：

（1）、平行于同一直线的两直线平行。

（3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （12）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断：

（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。 （10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断：

（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 判定定理：

性质定理：

4、线面垂直的判断：

⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 判定定理：

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育星教育专题导学案 3

性质定理：

（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。即：

（2）垂直于同一平面的两直线平行。 即： ★判断或证明线面垂直的方法 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。

⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。

⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中， 斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。 如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面 α内的一条直线。

① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂直射影。 ⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 5、面面平行的判断：

⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断：

⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 判定定理： 性质定理：

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； （2）

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图2-7 斜线定理

图2-8 三垂线定理

育星教育专题导学案 4

（3） （4）

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育星教育专题导学案 5

☆三垂线定理（及逆定理）：

PA⊥面，AO为PO在影，a面，则 a⊥OAa⊥PO；a⊥POa⊥AO

☆线面垂直：

a⊥b，a⊥c，b，c，bcOa⊥ ☆面面垂直：

a⊥面，a面⊥

a b  D1 C1 A B1 1 P H  G O a D C A a B O α b c α a l β 面⊥面，l，a，a⊥la⊥

☆a⊥面，b⊥面a∥b 面⊥a，面⊥a∥

☆三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ＝0时，b∥或b

o（3）二面角：二面角l的平面角，0o180o

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：

①找出或作出有关的角。

②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。

☆如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。 ①求BD1和底面ABCD所成的角的正弦值； ②求异面直线BD1和AD所成的角； ③求二面角C1—BD1—B1的角正弦值。

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育星教育专题导学案 6

（①arcsin36；②60o；③arcsin） 43 ☆点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：

D C （1）点C到面AB1C1的距离为______________；

（2）点B到面ACB1的距离为_______________；

A B （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为_________；

（4）面AB1C与面A1DC1的距离为___________；

（5）点B到直线A1C1的距离为______________。

D1 C1 ☆正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

RtSOB，RtSOE，RtBOE和RtSBE A1 B1 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧 V锥1C·h'（C——底面周长，h'为斜高） 21底面积×高 3R2d2

☆（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r （2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。 （4）S球4R，V球24R3 3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。

正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

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育星教育专题导学案 7