基本初等函数、函数与方程专题

基本初等函数、函数与方程专题

1．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )

解析：选A 函数f(x)的定义域为R，由f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)知函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除C；又由f(0)＝ln 1＝0，可排除B，D．故选A．

2． 若0＜a＜b＜1，m＝ab，n＝ba，p＝logba，则m，n，p这三个数的大小关系正确的是( )

A．n＜m＜p__ B．m＜n＜p

C．p＜m＜n D．p＜n＜m

解析：选B 由0logbb＝1，而0ln 2ln 3ln 5

3． 已知实数a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )

235

A．a＜b＜c B．c＜a＜b

C．c＜b＜a D．b＜a＜c

ln 3ln 22ln 3－3ln 2ln 9－ln 8

解析：选B ∵b－a＝－＝＝＞0，∴b＞a；又a－c3266ln 2ln 55ln 2－2ln 5ln 32－ln 25

＝－＝＝＞0，∴a＞c，∴b＞a＞c，即c＜a＜b.选B．

251010

ex－e－x4． 已知函数f(x)＝ln ，则f(x)是( )

2

A．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B．奇函数，且在R上单调递增

C．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D．偶函数，且在R上单调递减

解析：选A 要使函数有意义，则ex＞e－x，解得x＞0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y＝ex与y＝－e－x在(0，＋∞)上递增，所以f(x)在(0，＋∞)上递增，故选A．

5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2020年 B．2021年

C．2022年 D．2023年

解析：选C 设2018年后的第n年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n＞200，得

1.12n＞

20lg 2－lg 1.30.30－0.1119

，两边取常用对数，得n＞≈＝，13lg 1.120.055

∴n≥4，∴从2022年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．

5． 函数y＝( )

a－ax(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则

loga＋loga＝

65

548

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C 当x＝1时，y＝0，则函数为减函数，故a＞1，则当x＝0时，y＝1，

548548即y＝a－1＝1，即a－1＝1，解得a＝2，则loga＋loga＝loga×＝log28＝3，

6565

故选C．

7．(2018·邵阳模拟)若关于x的不等式2x＋1－2－x－a＞0的解集包含区间(0,1)，则a的取值范围为( )

7A．－∞，

2

B．(－∞，1]

7

C．－∞，

2

D．(－∞，1)

解析：选B 由题得a＜2·2x－

1

2

x＝t，t∈(1,2)，所以a＜2t在(0, 1)上恒成立，设2x11

－，t∈(1,2)，由于函数f(t)＝2t－，t∈(1,2)是增函数，所以a≤f(1)＝2×1－1＝1，

tt故选B．

8．已知直线x＝m(m＞1)与函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，g(x)＝logbx(b＞0且→＝2BC→，则( ) b≠1)的图象及x轴分别交于A，B，C三点，若ABA．b＝a2 B．a＝b2

C．b＝a3 D．a＝b3

→＝2BC→，则AC→＝3BC→，则点A的坐标为(m，3g(m))，又点A解析：选C 由于AB在函数f(x)＝logax的图象上，故logam＝3logbm，即logam＝logbm3，由对数运算可知b＝a3．

9．(2018·保定月考)已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，且x≥0时，f(x)＝ex＋m(m为常数)，则f(－ln 5)的值为( )

A．4 B．－4

C．6 D．－6

解析：选B ∵f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，

∴f(－x)＝－f(x)，故f(0)＝0，

∵x≥0时，f(x)＝ex＋m.∴f(0)＝1＋m＝0，m＝－1，

即x≥0时，f(x)＝ex－1，

则f(－ln 5)＝－f(ln 5)＝－(eln 5－1)＝－4，故选B．

10．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝x＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是( )

A．(0,1]∪[23，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞)

C．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)

1

解析：选B 在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m2x－2与g(x)

m

＝x＋m的大致图象．

分两种情形：

(1)当01

m符合题意；

1

(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，

m只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．综上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)．

11．(log43＋log83)(log32＋log92)＝________．

解析：(log43＋log83)(log32＋log92)

111＝log23＋log23log32＋log32

322

535

＝log23×log32＝． 624

5答案：

4

12．已知函数f(x)为偶函数且f(x)＝f(x－4)，又在区间[0,2]上f(x)＝

－x－3x＋5，0≤x≤1，

2

2＋2，12

x－x

1函数g(x)＝|x|＋a，若F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，

2

则a＝________．

解析：由题意可知f(x)是周期为4的偶函数，画出函数f(x)与g(x)的大致图象(图略)．若

F(x)＝f(x)－g(x)恰有2个零点，则有g(1)＝f(1)，解得a＝2．

答案：2

|ln x|，x＞0，13． 已知函数f(x)＝

2－x2，x≤0

k的取值范围是________．

若函数g(x)＝f(x)－kx有4个零点，则实数

解析：若函数g(x)＝f(x)－kx有4个零点，即方程f(x)＝kx有4个解，∴f(x)＝

|ln x|，x＞0，

2－x2，x≤0

与y＝kx有4个交点，记h(x)＝ln x，则过原点作h(x)的切线，切线

111

斜率为，∴0＜k＜，则实数k的取值范围是0，．

eee

1答案：0，

e

14．已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2.如果函数g(x)＝f(x)－(x＋m)有两个零点，则实数m的值为________．

解析：令g(x)＝0得f(x)＝x＋m．

①考虑函数f(x)在[0,1]上的图象，因为两个端点分别为(0,0)，(1,1)，所以过这两点的直线方程为y＝x，此时m＝0；

②考虑直线y＝x＋m与f(x)＝x2(x∈[0,1])的图象相切，与区间(1,2]上的函数图象相1

交，则此时直线与函数f(x)也是两个交点，即g(x)仍然有两个零点，可求得此时m＝－，41

切线方程为y＝x－.综上，由f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，得m＝2k或m41

＝2k－(k∈Z)．

4

1

答案：2k或2k－(k∈Z)

4

15．已知函数f(x)＝|2x－x|在[0,1]上单调递增，则a的取值范围为________．

2

a

解析：令2x＝t，t∈[1,2]，则

y＝|t－|在[1,2]上单调递增．当a＝0时，y＝|t|＝ttata在[1,2]上单调递增显然成立；当a>0时，函数y＝|t－|，t∈(0，＋∞)的单调递增区间是[a，＋∞)，此时a≤1，即0atat＋∞)的单调递增区间是[的取值范围是[－1,1]．

－a，＋∞)，此时－a≤1，即－1≤a<0时成立．综上可得a答案：[－1,1]