2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理及解三角形 理(含解析)新人教A版

2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题19 正弦定理和余弦定理

及解三角形 理（含解析）新人教A版

【高频考点解读】

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【热点题型】

题型一 正、余弦定理的简单运用

【例1】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若a＝23，b＝6，A＝45°，则c＝________． (2)若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________． 2π

【答案】 (1)3＋3 (2) 3【解析】

(1)法一 在△ABC中，由正弦定理得sin B＝

bsin A1

＝＝，因为b＜a，所以Ba223

6×

2

2

＜A，所以B＝30°，C＝180°－A－B＝105°，sin C＝sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝

6＋2

. 4

6＋2

23×

4asin C故c＝＝＝3＋3.

sin A2

2

【提分秘籍】

(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特

- 1 -

征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围．

【举一反三】

(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c＝2a＋2b＋ab，则△ABC是( )

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

2

2

2

a＋b＋c(2)在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则＝________．

sin A＋sin B＋sin C239

【答案】 (1)A (2) 3【解析】

1－ab21a＋b－c1222222

(1)由2c＝2a＋2b＋ab，得a＋b－c＝－ab，所以cos C＝＝＝－＜22ab2ab4

2

2

2

0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形．

题型二 正、余弦定理的综合运用

【例2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝3，cos A＝π

＋. 2

(1)求b的值； (2)求△ABC的面积．

【解析】 (1)在△ABC中，由题意知，sin A＝1－cosA

2

6

，B＝A3

- 2 -

＝

3， 3

π

因为B＝A＋，

2

6π所以sin B＝sinA＋＝cos A＝.

236

3×

3asin B由正弦定理，得b＝＝＝32.

sin A3

3

π3π(2)由B＝A＋，得cos B＝cosA＋＝－sin A＝－. 223由A＋B＋C＝π，得C＝π－(A＋B)． 所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝

36613

×－＋×＝. 33333

111

因此△ABC的面积S＝absin C＝×3×32×

223＝32

. 2

【提分秘籍】

有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．

【举一反三】

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8. 5

(1)若a＝2，b＝，求cos C的值；

2

92B2A(2)若sin Acos＋sin Bcos＝2sin C，且△ABC的面积S＝sin C，求a和b的值．

222【解析】

- 3 -

所以sin A＋sin B＝3sin C. 由正弦定理可知a＋b＝3c. 又因为a＋b＋c＝8，故a＋b＝6. 19

由于S＝absin C＝sin C，所以ab＝9，

22从而a－6a＋9＝0， 解得a＝3，b＝3.

题型三 正、余弦定理在实际问题中的应用

【例3】 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(3－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449)．

2

【解析】

- 4 -

则有10t＝6，t＝

6

≈0.245小时＝14.7分钟． 10

故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船． 【提分秘籍】

解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

【举一反三】

如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.

【答案】 150

- 5 -

【解析】

【高考风向标】

tan 【2015高考上海，理14】在锐角三角形C中，

1D为边C上的点，D，2与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则

DDF ．

【答案】16 1515,cosA21,ABACsinA24ABAC125，又52【解析】由题意得：sinA1132ABDE2,ACDF4ABDEACDF32DEDF,因为DEAF四点共圆，2212532216DEDFcos(A)()因此DDF

151255【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，

，【答案】．

，则 . 【解析】因为且，所以或，又，所以，，又故应填入．

，由正弦定理得即解得，xπ【2015高考湖北，理12】函数f(x)4cos2cos(x)2sinx|ln(x1)|的零点个数

22为 ．

【答案】2

- 6 -

【解析】

【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.

【答案】1006 【解析】

- 7 -

【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=120，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______.

【答案】6 o【解析】由正弦定理得

ABAD23，即，解得sinADBsinBsinADBsin120sinADB2，ADB45，从而BAD15DAC，所以2C1801203030，AC2ABcos306. 【2015高考福建，理12】若锐角ABC的面积为103 ，且AB5,AC8 ，则BC 等于________．

【答案】7

【解析】由已知得ABC的面积为

1ABACsinA20sinA103，所以2sinA3，A(0,)，所以A．由余弦定理得

232BC2AB2AC22ABACcosA49，BC7．

【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）

ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍．

(Ⅰ) 求

sinB；

sinC(Ⅱ)若AD1，DC【答案】(Ⅰ)【解析】

2，求BD和AC的长． 21；(Ⅱ)1． 2- 8 -

C所对的边分别为a，b，【2015高考浙江，理16】在ABC中，内角A，B，已知Ac，

4，

b2a2=

12c. 2（1）求tanC的值；

（2）若ABC的面积为7，求b的值. 【答案】（1）2；（2）b3. 【解析】

111b2a2c2sin2Bsin2C2及正弦定理得22（1）由，

A4，即

2∴cos2BsinC，又由

BC34，得

cos2Bsin2C2sinCcosC，

sinC255cosC5，5，

解得tanC2；（2）由tanC2，C(0,)得

31022sinBsin(AC)sin(C)sinBcb4103又∵，∴，由正弦定理得，

A又∵

1bcsinA34，2，∴bc62，故b3.

【2015高考安徽，理16】在ABC中，A3,AB6,AC32,点D在BC边上，4ADBD，求AD的长.

【答案】10 【解析】如图，

- 9 -

【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C的内角，，C所对的边分别为a，

b，c．向量ma,3b与ncos,sin平行．

（I）求； （II）若a7，b2求C的面积．

【答案】（I）【解析】

33；（II）． 32（I）因为m//n，所以asinB-由正弦定理，得sinAsinB-3bcosA=0，

3sinBcosA=0

又sin0，从而tanA=3，

由于0A，所以

A3

- 10 -

1

（2014·天津卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin

4

B＝3sin C，则cos A的值为________．

1

【答案】－

4

【解析】∵2sin B＝3sin C，∴2b＝3c.

a3

又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，

42

92

c＋c2－4c2222

b＋c－a41

∴cos A＝＝＝－.

2bc34

2×c×c2

- 11 -

（2014·新课标全国卷Ⅱ）设点M(x0，1)，若在圆O：x＋y＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

【答案】[－1，1]

【解析】在△OMN中，OM＝1＋x0≥1＝ON，所以设∠ONM＝α，则45°≤α<135°.根据1＋x0122

正弦定理得＝，所以1＋x0＝2sin α∈[1，2]，所以0≤x0≤1，即－

sin αsin 45°1≤x0≤1，故符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．

（2014·广东卷）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos

2222

aB＝2b，则＝________．

b【答案】2 【解析】

（2014·安徽卷）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.

(1)求a的值；

π(2)求sinA＋的值．

4

【解析】 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝

a2＋c2－b2sin Aa2＋c2－b2

＝，所以由正弦定理可得a＝2b·. 2ac2sin B2ac因为b＝3，c＝1，所以a＝12，即a＝2 3.

2

b2＋c2－a29＋1－12(2)由余弦定理得cos A＝＝＝

2bc6

12

－.因为012 21－＝. 93

ππ2 22124－2π故sinA＋＝sin Acos＋cos Asin＝×＋－×＝. 44432326π

（2014·北京卷）如图1­2，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，

31

cos∠ADC＝. 7

(1)求sin∠BAD；

- 12 -

(2)求BD，AC的长．

图1­2 【解析】

（2014·福建卷）在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2

【答案】2

3

3，则△ABC的面积等于________．

【解析】由＝，得sin B＝

sin Asin BBCAC4sin 60°

＝1，

23

∴B＝90°，C＝180°－(A＋B)＝30°，

11

则S△ABC＝·AC·BCsin C＝×4×23sin 30°＝23，即△ABC的面积等于23.

22（2014·湖南卷）如图1­5所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.

- 13 -

图1­5

(1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216

，求BC的长． 【解析】

- 14 -

故BC＝

AC·sin α

＝

sin∠CBA7×216

32

＝3.

（2014·江西卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，

22

C＝，则△ABC的面积是( )

9 33 3

A．3 B. C. D．3 3

22【答案】C

π

3

a2＋b2－c22ab－611

【解析】由余弦定理得，cos C＝＝＝，所以ab＝6，所以S△ABC＝absin

2ab2ab22C＝

3 3

. 2

→→

（2014·辽宁卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA·BC1

＝2，cos B＝，b＝3.求：

3

(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值． 【解析】

- 15 -

172 24 223

所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝×＋×＝.

393927

（2014·全国卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan

A＝，求B.

【解析】由题设和正弦定理得 3sin Acos C＝2sin Ccos A， 故3tan Acos C＝2sin C.

1

因为tan A＝，所以cos C＝2sin C，

31

所以tan C＝.

2

所以tan B＝tan[180°－(A＋C)] ＝－tan(A＋C) ＝

tan A＋tan C

tan Atan C－1

13

＝－1， 所以B＝135°.

- 16 -

（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

【答案】3 【解析】

1

（2014·新课标全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )

2

A．5 B.5 C．2 D．1 【答案】B

1111

【解析】根据三角形面积公式，得BA·BC·sin B＝，即×1×2×sin B＝，得sin

2222

B＝

2π

，其中C1＋2－2×1×2×

3π

，所以AC＝4

2

＝1＝AB，易知2

A为直角，此时△ABC为直角三角形，所以B为钝角，即B＝

1＋2－2×1×2×－

2

＝5. 2

π→→

（2014·山东卷）在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为______．

61

【答案】

6

π→→→→2

【解析】因为AB·AC＝|AB|·|AC|cos A＝tan A，且A＝，所以|AB|·|AC|＝，所以631→12π1→

△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sin A＝××sin ＝ .

22366

（2014·陕西卷）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值． 【解析】

- 17 -

（2014·四川卷）如图1­3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)

图1­3

【答案】60

【解析】过A点向地面作垂线，记垂足为D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝67°，AD＝46 m，∴AB＝

46

＝＝50(m)，

sin 67°0.92

AD在△ABC中，∠ACB＝30°，∠BAC＝67°－30°＝37°，AB＝50 m， 由正弦定理得，BC＝

ABsin 37°

sin 30°

＝60 (m)，

故河流的宽度BC约为60 m.

（2014·浙江卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cosA－cosB＝3sin Acos A－3sin Bcos B.

(1)求角C的大小；

4

(2)若sin A＝，求△ABC的面积．

5【解析】

- 18 -

2

2

1

（2014·重庆卷）已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋，

2面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是( )

A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162 C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24 【答案】A

【解析】因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得11sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋，

22

1

所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋，

21

所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋，

2

11

所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝，所以sin Asin Bsin C＝.

28

1

由1≤S≤2，得1≤bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

2所以1≤2R·sin Asin Bsin C≤2，所以1≤≤2，即2≤R≤2

48Rsin Asin Bsin C＝R≥8.

【高考押题】

1

1．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cos A＝，则B＝( )

3A.π

4

π

B. 3

C.π

6

D.2π 3

3

3

2

R2

2，所以bc(b＋c)>abc＝

【答案】 A

- 19 -

【解析】

2．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为

A.

3

2

B.3

C．23

3

，则BC的长为 ( ) 2

D．2

【答案】 B

1133

【解析】 因为S＝×AB×ACsin A＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2

2222－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝3.

ππ

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为

( )

B.3＋1 D.3－1

A．23＋2 C．23－2 【答案】 B

【解析】 由正弦定理＝及已知条件，得c＝22，

sin Bsin C12322＋6

又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝. 22224112＋6

从而S△ABC＝bcsin A＝×2×22×＝3＋1.

224

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的 ( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】 A 【解析】

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

bc5．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的

- 20 -

高是60 m，则河流的宽度BC等于 ( )

A．240(3－1)m C．120(3－1)m 【答案】 C

【解析】 如图，∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60 m，在Rt△ACD中，CD＝

tan ∠ACD＝

60

＝603(m)，

tan 30°

B．180(2－1)m D．30(3＋1)m

AD

在Rt△ABD中，BD＝60(2－3) (m)，

∴BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m)．

6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a＋c－b)tan B＝3ac，则角B的值为________．

【答案】

π2π或 33

2

2

2

6060

＝＝

tan ∠ABDtan 75°2＋3

＝ADa2＋c2－b23

【解析】 由余弦定理，得＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝，∴

2ac2

sin B＝

3π2π

，∴B＝或. 233

7．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．

【答案】 2

ab - 21 -

a2＋b2－c2a2＋c2－b2a【解析】 由已知及余弦定理得b·＋c·＝2b，化简得a＝2b，则＝

2ab2acb2.

1

8．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，则sin B4＝________．

【答案】 【解析】

15 4

9．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.

(1)求cos∠CAD的值； (2)若cos∠BAD＝－sin ∠CBA＝【解析】

7， 14

21

，求BC的长． 6

- 22 -

10．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值；

(2)求sin

A＋π4的值．

【解析】 (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B.

2b·a2＋c2－b2

由正、余弦定理得a＝2ac. 因为b＝3，c＝1，所以a2

＝12，a＝23.

(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a29＋1－121

2bc＝6＝－3

.

- 23 -

由于02

1221－＝.

93

ππ222124－2π故sinA＋＝sin Acos＋cos Asin＝×＋－×＝. 44432326

- 24 -