高中数学圆锥曲线小结论

椭 圆

1. 2.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 4.

以焦点弦PQ为直径的圆必及对应准线相离.

以焦点半径PF1为直径的圆必及以长轴为直径的圆内切.

x2y25. 若P0(x0,y0)在椭圆221上，则过P0的椭圆的切线方程是

abx0xy0y21. 2abx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆221外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为

abxxyyP1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是02021.

abx2y27. 椭圆221 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆

ab上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为SFPFb2tan.

122x2y28. 椭圆221（a＞b＞0）的焦半径公式：

ab|MF1|aex0,|MF2|aex0(F1(c,0) , F2(c,0)M(x0,y0)).

9.

设过椭圆焦点F作直线及椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.

过椭圆一个焦点F的直线及椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，

abb2则kOMkAB2，

a1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

即KABb2x02。

ay0双曲线

1. 2.

点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3. 4.

以焦点弦PQ为直径的圆必及对应准线相交.

以焦点半径PF1为直径的圆必及以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

x2y25. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲

abxxyy线的切线方程是02021.

abx2y26. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双

ab曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是

x0xy0y21. 2abx2y27. 双曲线221（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点

abP为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面积

为SFPFb2cot.

122x2y28. 双曲线221（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(c,0) ,

abF2(c,0)

当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a. 当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|ex0a,|MF2|ex0a

9.

设过双曲线焦点F作直线及双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.

过双曲线一个焦点F的直线及双曲线交于两点P、Q, A1、A2为

1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

x2y211. AB是双曲线221（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，

abb2x0b2x0M(x0,y0)为AB的中点，则KOMKAB2，即KAB2。

ay0ay0x2y212. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则被Po所平

abx0xy0yx02y02分的中点弦的方程是2222.

ababx2y213. 若P0(x0,y0)在双曲线221（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦

abx2y2x0xy0y中点的轨迹方程是2222.

abab椭圆及双曲线的对偶性质--椭 圆

x2y21. 椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，及y

ab轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1及A2P2交点的轨迹方程是

x2y21. a2b2x2y22. 过椭圆221 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾

ab斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且

kBCb2x02（常数）. ay0x2y23. 若P为椭圆221（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,

abF 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

actancot. ac22x2y24. 设椭圆221（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长

ab轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2,

PF1F2,F1F2P，则有

since.

sinsina1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

x2y25. 若椭圆221（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左

ab准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d及PF2的比例中项.

x2y26. P为椭圆221（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为

ab椭圆内一定点，则2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当

A,F2,P三点共线时，等号成立.

(xx0)2(yy0)21及直线AxByC0有公共点的充要7. 椭圆22ab条件是A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y28. 已知椭圆221（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上

ab111122

两动点，且OPOQ.（1）;（2）|OP|+|OQ||OP|2|OQ|2a2b24a2b2a2b2的最大值为22;（3）SOPQ的最小值是22.

ababx2y29. 过椭圆221（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支

ab|PF|e. 于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|MN|2x2y210. 已知椭圆221（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，

ab线段AB的垂直平分线及x轴相交于点P(x0,0), 则

a2b2a2b2x0.

aax2y211. 设P点是椭圆221（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一

ab2b2点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PF1||PF2|.(2)

1cosSPF1F2b2tan2.

x2y212. 设A、B是椭圆221（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭

ab1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭

2ab2|cos|圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|222.(2)

accostantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. ba2x2y213. 已知椭圆221（ a＞b＞0）的右准线l及x轴相交于点E，

ab过椭圆右焦点F的直线及椭圆相交于A、B两点,点C在右准线

l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，及以长轴为直径的圆相交，则相应交点及相应焦点的连线必及切线垂直.

15.

过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点及焦点的连线必及焦半径互相垂直.

16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离及以该焦点为端点的焦

半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线及长轴交点分别称为内、外点.）

17. 椭圆焦三角形中,内心将内点及非焦顶点连线段分成定比

e.

18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆及双曲线的对偶性质--双曲线

x2y21. 双曲线221（a＞0,b＞0）的两个顶点为

abA1(a,0),A2(a,0)，及y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1

x2y2及A2P2交点的轨迹方程是221.

ab1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

x2y22. 过双曲线221（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作

ab两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2x02（常数）.

ay0x2y23. 若P为双曲线221（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶

ab点外的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1，则

cacatancot（或tancot）. ca22ca22x2y24. 设双曲线221（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异

ab于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记

F1PF2,

PF1F2,

F1F2P，则有

since.

(sinsin)ax2y25. 若双曲线221（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、

abF2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d及PF2的比例中项.

x2y26. P为双曲线221（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦

ab点，A为双曲线内一定点，则|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.

x2y27. 双曲线221（a＞0,b＞0）及直线AxByC0有公共

ab点的充要条件是A2a2B2b2C2.

x2y28. 已知双曲线221（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q

ab为双曲线上两动点，且OPOQ.

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高中数学圆锥曲线小结论

4a2b2111122

22;（1）（2）|OP|+|OQ|的最小值为22;22ba|OP||OQ|aba2b2（3）SOPQ的最小值是22.

bax2y29. 过双曲线221（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双

ab曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则

|PF|e.

|MN|2x2y210. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两

ab点，线段AB的垂直平分线及x轴相交于点P(x0,0), 则a2b2a2b2x0或x0.

aax2y211. 设P点是双曲线221（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的

ab任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则2b2(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2b2cot.

1cos2x2y212. 设A、B是双曲线221（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P

ab是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e

分别是双曲线的半焦距离心率，则有

2ab2|cos|(1)|PA|222.

|accos|(2) tantan1e.(3) SPAB22a2b22cot. 2bax2y213. 已知双曲线221（a＞0,b＞0）的右准线l及x轴相交

ab于点E，过双曲线右焦点F的直线及双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

14.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，及以长轴为直径的圆相交，则相应交点及相应焦点的连线必及切线垂直.

15.

过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一

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高中数学圆锥曲线小结论

点，则该点及焦点的连线必及焦半径互相垂直.

16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离及以该焦点为端

点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线及长轴交点分别称为内、外点).

17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点及非焦顶点

连线段分成定比e.

18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比

例中项.

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高中数学圆锥曲线小结论

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。 一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。

y2例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线x1，P为双曲线

32上一点。

求|PA||PF|的最小值。 解析：如图所示，

12

双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知|PF|即点P到准线距离。

|PA||PF||PA||PE|AM

12125 2二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。 例2. 求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。 解：取如图所示的坐标系，设点F到准线l的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数）

b，而ct c b2pcpt

p2

再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则

xct ybpt

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高中数学圆锥曲线小结论

消去t，得轨迹方程y2px

三. 数形结合，直观显示

将“数”及“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。

例3. 已知x,yR，且满足方程x2y23(y0)，又m范围。

解析：my3的几何意义为，曲线x2y23(y0)上的点及x3y3，求mx3点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

kPAmkPB 

3335m22

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆(x3)2y24和直线ymx的交点为P、Q，则|OP||OQ|的值为________。

解：OMP~OQN

OQ||OM||ON|5 |OP||

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式及解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

x2y2xy例5. 已知椭圆：1，直线l：1，P是l上一点，射

2416128OP||OR|2，线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足|OQ||当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程。

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高中数学圆锥曲线小结论

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

 解：如图，OQ，OR，OP共线，设OROQ，OPOQ，

OQ(x，y)，则OR(x，y)，OP(x，y)

2 |OQ||OP||OR|

222 |OQ||OQ|

2

点R在椭圆上，P点在直线l上 2x2241612x2y2xy 即

24161282y21，

xy81

化简整理得点Q的轨迹方程为：

(x1)2(y1)22 1（直线yx上方部分）

55323

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：

x2y26x4(x2y26y28)0

(1)x2(1)y26x6y(284)0

33，)，在直线xy40上 11 解得7

则圆心为(1 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

故所求的方程为x2y2x7y320

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。

y2例7. 过点A（2，1）的直线及双曲线x1相交于两点P1、P2，

22求线段P1P2中点的轨迹方程。

解：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则

2y12x112 2x2y21221

2 <2>－<1>得

(y2y1)(y1y2)

2yy2(xx) 即2112

x2x1y1y2 (x2x1)(x1x2) 设P1P2的中点为M(x0，y0)，则

y2y12x0 12x2x1y0y1 又kAM0，而P1、A、M、P2共线

x02y12x0 kP1P2kAM，即0 x02y0 kPP P1P2中点M的轨迹方程是2x2y24xy0

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组及链接, 使知识形成网络, 着重考查直线及圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

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高中数学圆锥曲线小结论

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.

讲解: 通过读图, 看出A',B'点的坐标.

‘1，1t，(1 ) 显然A'1,1t, B 于是 直线AB

的方程为ytx1；

x2y21,2t1t2（2）由方程组解出P(0,1)、Q(,)； 221t1tytx1, （3）kPT1010tt, kQT1t2021t211t. 22ttt(1t)t1t2 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

x2y2例2 已知直线l及椭圆221(ab0)有且仅有一个交点Q，且

ab及x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

讲解：从直线l所处的位置, 设出直线l的方程,

由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

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高中数学圆锥曲线小结论

ykxm(k0).

代入椭圆方程b2x2a2y2a2b2， 得 b2x2a2(k2x22kmxm2)a2b2. 化

简

后

，

得

关

于

x的一元二次方程

(a2k2b2)x22ka2mxa2m2a2b20.

于是其判别式(2ka2m)24(a2k2b2)(a2m2a2b2)4a2b2(a2k2b2m2). 由已知，得△=0．即a2k2b2m2. ①

在直线方程ykxm中，分别令y=0，x=0，求得R(m,0),S(0,m).

k 令顶点P

myx,k,kx的坐标为（x，y）， 由已知，得 解得ym.my.22 代入①式并整理，得 a2b2xy1, 即为所求顶点

P的轨迹方程．

22ab方程221形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? xy23x2y2 例3已知双曲线221的离心率e，过A(a,0),B(0,b)的直

3ab线到原点的距离是

3. 2 （1）求双曲线的方程；

（2）已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 讲解：∵（1）

daba2b23.2c23,a3原点到直线AB：

xy1的距离abab3.c2.

b1,a 故所求双曲线方程为 x（2）把

3y21.

ykx5代入x23y23中消去y，整理得

(13k2)x230kx780.

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高中数学圆锥曲线小结论

设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点是E(x0,y0)，则 x0y01x1x215k51

ykx5,k.00BE213k213k2x0k x0ky0k0,15k5k2k0,又k0,k7 2213k13k即

故所求k=±7. 为了求出k的值, 需要通过消元, 想法设法建构k的方程.

例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1及椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12． （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．

讲解：（1）设|PF1|r1,|PF2|r2,|F1F2|2c, 对PF1F2, 由余弦定理, 得

2r11r224c2(r1r2)22r1r24c24a24c24a24c2 cosF1PF21112e0，

rr2r1r22r1r22r1r22(12)22解出 e2 .2 （2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：

i) 当k存在时，设l的方程为yk(xc)………………①

x2y2 椭圆方程为221,A(x1,y1),B(x2,y2) 由e2. 得 a22c2,b2c2.

ab2于是椭圆方程可转化为 x22y22c20………………② 将①代入②，消去y得 x22k2(xc)22c20,

2整理为x的一元二次方程，得 (12k)x24ck2x2c2(k21)0.

则x1、x2是上述方程的两根．且

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22c1k2|x2x1|12k2，

高中数学圆锥曲线小结论

22c(1k2)，

|AB|1k|x2x1|12k22AB边上的高h|F1F2|sinBF1F22c11k2|k|S22c()2c 22212k1k|k|1k2,

也可这样求解：

S1|F1F2||y1y2| 2 c|k||x1x2|

22c21k2|k|k2k412222c22c2c2. 224112k14k4k44kk2ii) 当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得

y21c,|AB|2c,S2c2c2 222c2 由题意得2c2=12 所以c262b2

由①②知S的最大值为

a2122

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2122y2621.

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：xmyc…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.） 椭圆的方程为：x2y2ab221,A(x1,y1),B(x2,y2)

由e2222.得：a22c2,b2c2,于是椭圆方程可化为：x2y2c0……② 22把①代入②并整理得：(m2)y22mcyc20

于是y1,y2是上述方程的两根.

|AB|(x1x2)2(y1y2)21m2|y2y1|22c(1m2), m221m24m2c24c2(m22)m22AB边上的高h222c1m2,

2c(1m2)2c1m2222c2m22(m2)222c1m21m2112m12从而S1|AB|h122c2.

当且仅当m=0取等号，即Smax2c2.

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高中数学圆锥曲线小结论

由题意知

2c212, 于是 b2c262,a2122.

x2122y2621.

故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：

x2y2例5 已知直线yx1及椭圆221(ab0)相交于A、B两

ab点，且线段AB的中点在直线l:x2y0上.（１）求此椭圆的离心率； （2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上，求此椭圆的方程. 得

(a2b2)x22a2xa2a2b20,

yx1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由 x2y2221ba2a22b2根据韦达定理，得 x1x222,y1y2(x1x2)222,

ababa2b2 ∴线段AB的中点坐标为（22,22）.

ababa22b2 由已知得22220,a22b22(a2c2)a22c2，故椭圆的

abab离心率为e2 . 2 （2）由（1）知bc,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则得 x0b且y0b

由已知得 x02y024,(b)2(b)24,b24，故所求的椭圆方程为

x2y21 . 841 / 1

y001xby1且0200,解x0b2223535高中数学圆锥曲线小结论

例6 已知⊙M：x2(y2)21,Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点， （1）如果|AB|42，求直线MQ的方程；（2）求动弦3AB的中点P的轨迹方程. 讲解:（1）由|AB||MP||MA|2(42，可得 3|AB|22221)12(),由射影定理，得 233|MB|2|MP||MQ|,得|MQ|3, 在Rt△MOQ中，

|OQ||MQ||MO|325，故a5或a5，

2222

所以直线AB方程是2x5y250或2x5y250;

（2）连接MB，MQ，设P(x,y),Q(a,0),由点M，P，Q在一直线上，得

2y2,(*) ax由射影定理得|MB|2|MP||MQ|,即x2(y2)2a241,(**) 把（*）及（**）消去a，并注意到y2，可得x2(y)2741(y2). 16 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

2。DO2⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L及曲线E相交于不同的两点M、N且

A O B 1 / 1

C 高中数学圆锥曲线小结论

M在D、N之间，设

DM，试确定实数的取值范围． DN讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=

2222()222∴动点P的轨迹是椭圆∵22x2a2,b1,c1∴曲线E的方程是 y21 .

2 （2）设直线L的方程为 ykx2, 代入曲线E的方程x22y22，得(2k21)x28kx60设M1（x1,y1),(8k)24(2k1)60,①  8k ② ,x1x222k1 6x1x22.③ 2k1N(x2,y2), 则

i) L及y轴重合时，|DM|1

|DN|3ii) L及y轴不重合时， 由①得 k2. 又∵

xxMxDMD1, DNxDxNx232∵x2x10, 或 x2x10,∴0＜＜1 ,

(xx2)2(x1x2)2x1x2k21∴22∵

x1x2x1x2x2x16(2k21)321)8.2k3213(22)k16,3

而k2, ∴63(2116, 3∴ 43213(22)k ∴

421 / 1

高中数学圆锥曲线小结论

01,1101 2,2,3110,3111.∴的取值范围是,1 . 33 值得读者注意的是，直线L及y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且及抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点.

（1）求证：4x1x2p2;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

讲解: （1）易求得抛物线的焦点F(P,0). 若l⊥x轴，则l的方程

2为xP,显然xx2212P24.若l不垂直于x轴，可设yk(xP),代入抛物线方程

2222PPP整理得xP(12)x0,则x1x244k. 综上可知 4x1x2p2.

（2）设C(cd2,c),D(,d)且cd2p2p2，则CD的垂直平分线l的方程为

cdcdc2d2

y(x)22p4p假设l过F，则0cd2cdpc2d2整理得 (cd)(2p2c2d2)0 ()2p24pp0

2p2c2d20，cd0. 这时l的方程为y=0，从而l及抛物线

y22px只相交于原点. 而l及抛物线有两个不同的交点，因此l及l

不重合，l不是CD的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

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高中数学圆锥曲线小结论

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