正弦定理

温故知新：

(1)三角形的面积

1absinC2______________=________________

公式：

S（2）向量平行、向量垂直

y1) ，b= (x2，y2) 且 a∥b则：____________________ 两个向量平行：已知a=(x1，y1) ，b= (x2，y2) 且 a⊥b则：____________________ 两个向量垂直：已知a=(x1，知识点1：正弦定理

1正弦定理的内容

abc在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinAsinBsinC

2正弦定理的理解

（1）正弦定理适用于任意三角形

（2）正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边

与角的一种数量关系；

（3）正弦定理的关系式是分子为边长，分母为该边所对角的正弦的分式连等式，实际上是三个边角关系式：

abacbcsinAsinB sinAsinC sinBsinC

3正弦定理的推广及其变形

abc（1）正弦定理的推广：设三角形外接圆的半径为R，则sinAsinBsinC=2R。这一结论对任意

三角形都成立

（2）正弦定理的常见变形：

①边化角公式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

abcsinBsinC2R，2R，2R

②角化边公式：

sinA③a:b:csinA:sinB:sinC

abcabc④sinAsinBsinCsinAsinBsinC=2R

⑤asinBbsinA，asinCcsinA，bsinCcsinB

例1下列有关正弦定理的叙述正确的是（ ）

①正弦定理只适用于锐角三角形

②正弦定理不适用于直角三角形

③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一个定值

④在△ABC中，sinA:sinB:sinCa:b:c

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点2：正弦定理的应用

1.解三角形的概念

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

2.正弦定理在解三角形中的应用

abc公式sinAsinBsinC反映了三角形的边角关系.有正弦定理的推导过程知,该公式实际表abacbc示:sinAsinB sinAsinC sinBsinC.上述的每个公式都表示三角形的两内角与它们的对边的关

系,对于每一个等式,可知三求一,于是正弦定理可解决两类解三角形问题:

(1)已知两角和任意一边,求另两边和另一角

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角

3.利用正弦定理判断三角形的形状

已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑使用正弦定理或正弦定理的变形

a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(R为△ABC外接圆半径),结合三角形内角和定理及三角函数的一些

公式

ABCABCcoscossin22,22等

如在△ABC中A+B+C=180°sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,

sin【注意】（1）判断三角形的形状时，在等式变形中，一般不要约去公因式，以免漏解。

（2）常见的三角形有：正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、钝角三角形和锐角三角形

sinAcosBcosCabc，则△ABC为（ ） 例2 若

A等边三角形 B等腰三角形

C有一个内角为30°的直角三角形 D有一个内角为30°的等腰三角形

知识拓展 三角形中的几个隐含条件

（1）在三角形ABC中，a+b＞c； A＞BsinAsinB； A＞BcosAcosB；

a＞bA＞B； sinAsinBsinC

（2）若三角形ABC为锐角三角形，则

2

ABA2BsinAcosBcosAsinB

（3）若三角形ABC为锐角三角形，则

2，

ABBC2，

AC2222222222，abc，bca，acb

题型1 利用正弦定理解三角形

例3 （1）在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形

（2）在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1，求b的值及三角形外接圆的半径

例4 在△ABC中，已知下列条件，解三角形:

（1）a=10，b=20，A=60°

（2）b=10，a=56，C=60°

（3）a2，b3，A=45°

【解析】本题考查了利用正弦定理解决已知两边及其中一边的对角解三角形，利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解得情况，然后解三角形。

点评：已知两边和其中一边对角解三角形时，可由两解、一解、无解三种情况。应根据已知条件判断解得情况，主要根据图形由“大边对大角”作出判断。

题型2 利用正弦定理判断三角形的形状

方法归纳： 利用三角形的边角关系，推导出满足题设条件的三角形的形状，其常用方法是:将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断，若转化为边的关系式，需要进行因式分解、化简，判断三角形的形状，看是否有两边相等、三边相等，或是否符合勾股定理；若转化为角的关系式，需要三角函数知识进行三角恒等变换，同时考虑角的范围，看是否有两角相等、三角相等，或是否有一角为直角，从而确定三角形的形状

222sinAsinBsinC，试判断△ABC的形状 sinA2sinBcosC例5 在△ABC中，若，且

题型3 正弦定理与向量的综合应用（较难）

方法归纳： 解三角形与平面向量的综合问题，一般以平面向量的数量积的运算作为工具给出条件，利用正弦定理，把向量的模与夹角关系转化为三角形的边角关系进行处理.

1)，q（2bc，cosC）例6 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，p(2a，，且p∥q

 求：（1）sinA的值

【综合练习】

1.在△ABC中，下列关系式中一定成立的是（ ）

A.absinA B.absinA C.absinA D.absinA

2.以下关于正弦定理的叙述和变形错误的是（ ）

A.在△ABC中，a:b:csinA:sinB:sinC

B.在△ABC中，sin2Asin2B，则ab

C.在△ABC中，sinAsinBAB

abcD.在△ABC中，sinAsinBsinC

3.在△ABC中，已知A=45°，AB=2，BC=2，则C=（ ）

A.30° B.60° C.120° D.30°或150°

4.在△ABC中，已知B=60°，最大边与最小边的比为(31):2，则三角形的最大角为（A.60° B.75° C.90° D.115°

）

a5.在锐角三角形ABC中，若A=2B，则b的取值范围是（ ）

A.（1,2） B.（1，3） C.(2,2) D.(2,3)

6.在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解得情况是（ ）

A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解得个数不确定

7.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosBbcosAc，则

△ABC是

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定

8.ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（ ）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

9.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）

A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2 ,∠A=30°

C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45°

m 10.满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC的个数记为m,则a的值为（ ）

A．4 B．2 C．1 D．不定

222sinAsinBsinC，则△ABC为( )11. △ABC中，

A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形

12. 在△ABC中，b=3，c=3，B=300，则a等于（ ）

A．3 B．123 C．3或23 D．2

13．在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是 。

cosAcosBsinCabc，则△ABC是 三角形。 14．在△ABC中，若

15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．（Ⅰ）若△ABC面积为

3,c2,A60,2求a，b的值；（Ⅱ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

16.在△ABC中，若sinAsinBsinC，且sinA2sinBcosC，试判断△ABC的形状

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