1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理

课本第6页，练习

1．填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种

方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。

（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同

路线的条数是 。

【解析】（1）分类加法计数原理

要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9； （2）分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从A村经B村到C村去”，不同路线条数是3×2＝6。

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：

（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？ 【解析】（1）分类加法计数原理

要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12； （2）分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。

3．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为

6410。

这种算法有什么问题？

【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。

课本第10页，练习

1．乘积(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)展开后共有多少项？ 【解析】分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。由于每一项都是aibjck的形式，所以可以分三步完成：第一步，取ai，有3种方法；第二步，取bj，有3种方法；第三步，取ck，有5种方法。根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）。

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2．某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的，后四位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？ 【解析】分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”。分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）。

3．从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种的选法？ 【解析】分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.

4．某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？ 【解析】分步乘法计数原理

要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”。分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去。共有进出方法6×5＝30（种）。

习题1.1 A组

1．一个商店销售某种型号的电视机，其中本地的产品有4种，外地的产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有多少种不同的选法？ 【解析】分类加法计数原理

“一件事情”是“买一台某型号的电视机”。不同的选法有4＋7＝11（种）。

2．如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路。从甲地到丁地共有多少条不同的路线？

【解析】加法原理与乘法原理的综合应用

“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”。所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）。

3．用1,5,9,13中的任意一个数作分子，4,8,12,16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数？可构成多少个不同的真分数？ 【解析】对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”。由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数。

因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法。共有不同的分数4×4＝16（个）。

对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”。分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个。所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）。

4．如图，一条电路从A处到B处接通时，可有多少条不同的线路？

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【解析】“一件事情”是“接通线路”。根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）。 5．（1）在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在

A{0,1,2,3,4,5}内取值的不同点共有多少个？

（2）在平面直角坐标系内，斜率在集合B{1,3,5,7}内取

值，y值上的截距在集合C{2,4,6,8}内取值的不同直线共多少条？

【解析】分步乘法计数原理

（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”。由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A中选横坐标，有6个选择；第二步，从A中选纵坐标，也有6个选择。所以共有坐标6×6＝36（个）。

（2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”。由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法。所以共有直线4×4＝16（条）。

习题1.1 B组（P13）

1．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0到5这六个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？ 【解析】分步乘法计数原理

“一件事情”是“组成一个四位数字号码”。由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）。 2．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，

不同报法的种数是3还是43？

（2）3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是3还是5？

【解析】分步乘法计数原理

（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”。应该是人选运动队，所以不同报法种数是3。

（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”。应该是人选风景点，故不同的选法种数是5。

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