投稿邮簇：ｓ ｘｊｋ＠ｖＩｐ＿１６３．ｃｏｍ 数学教学通讯（教师版）……………………………………一竞赛园地 构造多种模型证明—道竞赛题 陈雪松刘美香 贺才田 湖南衡南第一中学４２ｌ２０ｏ 湖南衡阳教育科学研究所４２ｌ２００ 篓 要 脚嫩嗣 了 奶 肪 即 问题设。，６，ｃ ｅ ，且Ⅱ６ｃ＝１，证明： ＋ ＋ ６ －（＼ ＋６ｃ＋０ｃ ６ ＋ｃ＋￡小 ＋ ｎｃ Ｊ ６ 、㈨ ≥三． ｃ （叶６） ２ ［３（ ）］ 吾． 这道题是第２６届ＩＭ０竞赛题，很多资料上对此都有介绍，从 故原不等式成立． 不同的角度来思考可以得到不同的证法． 点评 函数的单调性是高中数学的重要内容．恰当地构造 一个函数并巧妙地利用它的性质，可以证明一些不等式，也有 １．构造函数模型 助于更好地掌握函数的性质及其应用． 由函数的单调性定义易知，若函数 ＿厂（ ）在区间Ｄ上单调递 增，则对任意 ， ：∈Ｄ时，有 。）－／ ：）］（ ）≥ｎ利用这个结 论能够方便地证明一些具有对称性的不等式． ２．构造辅助元 证明（利用函数的单调性）此不等式对称性结构不强，由 对结构不好把握，或较为复杂，变量关系不甚明了的式子， 可适当引人新的辅助变量，通过代换，实现某种变通，能给解题 此作下列变换 ： ： ． 口 （６＋ｃ） 血 （６＋ｃ）Ｉ曲＋ｃ 带来新的转机． 故原不等式等价于 ＋叻÷Ｉ ＋叻＋Ｄｃ ＋ ≥寻．Ｄｃ 证明 （栅换元法）原不等式等价于志＋志＋ 令ｓ；曲＋６ｃ＋ｎｃ， ）＝三！≥＿３＿． ， — ｃ （６＋Ⅱ） ２ 那么 ）在［Ｏ，２］上单调递增， 所以（ 争）（ ）－ｇ（争））≥Ｑ 即’ ＋６一 ＋ｃ一 ｃ等＋一 ＋旷 旷蒜≥ ＋６ ２ ， 因此只要设ｓ＝ｎ＿ ＋６一。＋ｃ一， 一 ，ｙ 一６一，ｚ －Ｉｃ＿。， 所以 （ ）≥昭（｝）＋｝ｇ（ ）一｝ ｇ（争）． 则 ＋，，把： ，从而原不等式转化为要证 ＋ ＋ ｙ 所以 ≥手＋ｉ毒 了～ ， ≥三． ２ 令 ： 得 ≥芋＋ 一 ； 即只要证（ 似）（ 十厂 。 一踟≥３， 同理得 ｎ６押０ ２≥ ＋ ３ （ｎ６＋ｃ口） ６一 ， ＋６ｃ ２≥等＋ 而此式左边≥［３（ ）・３（ ）］ｓ一＆ ， 又注意到Ⅱ６ｃ＝ｌ，ｓ＝０一 ＋６—１＋ｃ一 ≥３・（ ）＝３， 竺 一 ３（Ⅱ６＋６ｃ）６‘ 故原不等式成立． 所以 ＋＋ ＋ ＋６ｃ ６ ≥｝（ｃ＋ ３＼ ＋６ｃ＋ ６ ＋ｃ＋曲 曲＋ ）ｎｃ／ ＝ 点评 经过换元转化后，简化了证明过程，而且有助于窥 探命题者构建此题的来龙去脉。提高解题者的宏观解题能力． 竞赛园地 ３．构造概率模型 数学教学通讯（教师版） 构造向量ｍ＝（Ｖ＿０（丽）－ｐ ， ： ，ｌ＝投稿邮籀：ｓｘｊｋ＠ＶＩｐ．１６３ ｃｏｍ ，、／ 丽一 ，、／ 丽＼ ） 我们知道，若离散型随机变量 的分布列为Ｐ（ ｌ，２，…，ｎ，其中 ｐ ＝１，则 、／ ｃｆ ６ ’ ∞ 可’ 丽 ／’ ≥（ ） ．当且仅当 ｔ＝ ：：…： 由（Ｊ，ｌ・，１）ｚ≤Ｉｍ１：・ｌ，ｌｌ： 喏时取“＝”．因此，我们可以设想通过构造随机变量的概率分 布列来证明这个不等式． 得Ｉ【 （ 可）・＿ 、／ｎ６ １ ２ 口（６＋ｃ）＋ 面 ．一 一＋ 、／ 证明 原不等式等价于 曲＋ ＋堡）＝３． ＋ ≥三． 曲＋６ｃ ＋６ｃ ２ 设Ⅱ６懈 ｃ ，则ｓ≥３（ 、／ｃ（叶 ）。 所以 ３ ２ ３ ２ Ｊ （ ｃ ） ≤［口（ ）舶（Ⅱ ） （Ⅱ ＋ ＋ ＋６ｃ 又设 １＝ ， ２＝：６ｃ， ，ＡＦ ，８Ｆ！三兰（ １，２，３）， — 圳＿（ ＋ ＋ ）， 一≥ ＋６ｃ Ｚ５ 随机变量 的分布列为Ｐ（ ） ，（ ｌ，２，３）， 二＿） ！ ２ ≥ ｎ６＋０ｃ ２（６ｃ＋ｎｃ＋口６） 则鹾＝ Ａｌ＝ｌ 胙≥， 去 Ｓ Ｅ：ｌ — ， 因为Ｅ ≥（ ） ， 点评 构造向量的重点和难点是根据其结构特点，构 所以去 毒≥ｊ， 高≥÷≥ ．原不等式得证． 点评概率统计知识是新教材增加的内容，目前有关构造 概率模型解题的研究很少，构造概率模型解题，关键在于寻找到 恰当的概率模型，一旦运用成功，往往给人耳目一新的感觉．运 造两个恰当的向量．一旦运用成功，常常表现出简捷、明 快、精巧、新颖等特点，给人举重若轻的感觉．该方法具有 很强的创造性，由于向量本身是一个数形结合体，它为我们 解决数学问题提供了广阔的思维天地．因此向量具有独特 的教学价值． 用它解题有利于培养学生思维的敏捷性和创造性． 以上是从四个不同的角度来思考一道不等式问题，函数法 和换元法一直是高中数学的重要内容和思想方法，概率和向量是 ４．构造向量模型 新课程中增加的内容，这在一定程度上拓宽了解题思路，对培养 学生的创造性思维大有裨益．我们要在继承传统中创新。这也正 是新课程的一个重要理念． 硼…一于 ＋叻十Ｉ ？ 叻十 ＋Ｄｃ Ｉ ≥寻 ＋ＤＣ （上接第６１页） （二）加强图形语言符号化训练，培养抽象概括能力 图形语言是一种视觉语言，它具有高度的形象性和直观 解决问题．对于符号语言转化为图形语言，在平时的教学中我 们在意得很多，训练得也相对到位，几乎涉及所有的数形结合 思想的训练．但是，这种训练应讲究科学的方法。不应靠题海 战术来训练．教学过程中，如果图形不能准确地作出，会误导 性，而符号语言是一种推理语言，它具有准确性、严密性、抽象 性和概括性．我们通常在问题表述、问题解决和数学思想交流 学生．为了克服这一难点，可以用计算机辅助教学．使学生真 正游刃有余于数形之间，提高学生数化形的积极性． （四）加强语言“互译”化训练。培养各种语言转化能力 过程中，将图形语言转化为符号语言，而在图形语言转化为符 号语言的过程中．我们应根据所给图形的特征和性质，将其隐 含在图形深处的本质内容挖掘出来．并将其符号化处理． 文字语言、图形语言和符号语言是数学推理和交流中非常 重要的三种语言，它们是不可分割的统一整体．三种语言的结 当前，高中数学教学过程中对图形语言向符号语言转化 重视不够，训练较少，学生对此种问题处理的方法和能力还 很欠缺。问题２的测试结果就是一个例证．所以，今后的数 学教学应加强这方面的训练，来达到培养抽象概括能力的 目的． 合，能够互相对照、互相渗透、互相印证和互相补充．从文字语 言到符号语言的转化可使具体问题抽象化．复杂的问题简单 化；从符号语言到图形语言的转化能使抽象问题形象化、直观 化；从图形语言到文字（符号）语言的转化能使直观、不精确的 问题具体化、精确化．数学教学过程中，要让学生对一个数学 问题用多种语言进行表达，使他们能够从多角度、多方位、多层 面上去分析、理解问题，通过这样经常性的数学语言“互译”．一 定能够使学生数学语言转化能力得到训练和提高，也必将取得 良好的教学效果． （三）加强符号语言图形化训练。培养数学建模的能力 从某些方面讲，图形语言有符号语言所不能及的形象性和 优越性．在数学教学中．在抓好形译数的同时，更要抓好数化 形，使学生能将大量的符号语言迅速正确地转化成图形语言。 借助图形的直观形象的特点，进行观察、记忆、联想和分析，来