江苏省宿迁市2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷

宿迁市2016~2017学年度第二学期期末考试

高二数学试卷

（考试时间120分钟，试卷满分160分)

nn43E(X)xp参考公式：V球R;,n，pi1． ii，其中pi≥0,i1,2,3i1i1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写

在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

1．已知复数z满足z2i（i是虚数单位），则|z|的值为 ▲ ． 2．已知点A的极坐标为(2,)，则点A的直角坐标为 ▲ ．

x4t,3．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l在y轴上的截距是 ▲ ．

y12t64．已知向量a2,3,2,b4,x,3，若ab，则实数x的值是 ▲ ． 5．甲、乙、丙三人独立地翻译一密码，若每人译出此密码的概率均为出的概率为 ▲ ．

3，则该密码被译 4a 06．设矩阵M的一个特征值为2，则实数a的值为 ▲ ．

2 17．若3名学生报名参加数学、物理、化学、计算机四科兴趣小组，每人选报一科，则 不同的报名方法有 ▲ 种．

8．设(3x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3a4的值为 ▲ ． 9．在极坐标系下，点P是曲线C1：4cos上的动点，点Q是直线C2:sin3上

的动点，则线段PQ长的最小值是 ▲ ． 10．已知(xa6)展开式中的常数项为60，则正实数a的值为 ▲ ．

O xM

C

11．在四面体OABC中，已知点M,N分别在棱OA,BC上，

N

B

（第11题）

112．两位同学参加一项比赛，通过综合分析，两人获得一等奖的概率分别为,p(0p1)，

3 且他们是否获得一等奖相互独立．若这两位同学中恰有一位获得一等奖的概率为

11且OMOA,BNBC，MNxOAyOBzOC，

32A

则xyz的值为 ▲ ．

7， 12

则p的值为 ▲ ． 13．已知函数f(x)1x1，数列{an}满足a1，对于任意nN*都满足an2f(an)， 1x2且an0．若a10a8，则a2016+a2017的值为 ▲ ．

14．祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几

何体的体积相等．利用祖暅原理可以求旋转体的体积．如：设半圆方程为

x2y2r2y≥0,r0，半圆与x轴正半轴交于点A，作直线xr，yr交于点P，连接OP（O为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y轴旋转所得半球的体积与△OAP绕y轴旋转y2x2一周形成的几何体的体积相等．类比这个方法，可得半椭圆221(ab0,y≥0)绕y轴

ab旋转一周形成的几何体的体积是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知复数z1ai(aR)，z212i，其中i是虚数单位，且（1）求复数z1；

（2）若复数(z1b2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围． 16．（本小题满分14分）

已知矩阵M的逆矩阵M（1）求矩阵M；

（2）已知曲线C:x2y21，在矩阵M对应的变换作用下得到曲线C1，求曲线C1

的方程．

17．（本小题满分14分）

在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BADA，BC∥AD 且PAABBC1,AD3，点E为PD的中点． （1）求CE与AB所成角的余弦值；

P E

A

D

1z1为纯虚数． z2102． 01

（2）求二面角CPDA的余弦值．

18．（本小题满分16分）

某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动．抽奖方案是：顾客从一个装有2个红球，3个黑球，5个白球的袋子里一次取出3只球，且规定抽到一个红球得3分，抽到一个黑球得2分，抽到一个白球得1分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项．记某位顾客抽奖一次得分总和为X．

（1）求该顾客获得最高分的概率； （2）求X的分布列和数学期望．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)(1a1x)(1a2x)(1aix)(1anx)，其中1≤i≤n，i,nN*．

（1）若ai1,n10，求f(x)展开式中含x项的系数； （2）若aii,n8；求f(x)展开式中含x项的系数；

（3）当i为奇数时，ai1，当i为偶数时，ai1，n为正偶数．

求证：当x4322时，f(x)(1x)为正整数．

n22 20．（本小题满分16分）

如图，由若干个数组成的n行三角形数阵，第一行有1个数，第二行有2个数，依此类推，第i行有i个数．除最后一行外，各行中每个数都等于它下方两个数之和，如：a32a42a43．记

第i行的第j个数为aij（1≤j≤i≤n，i,j,nN*）．

（1）若n=4，当最后一行从左向右组成首项为1，公差为2的等差数列时，求a11；

（2）若第n行从左向右组成首项为1，公比为2的等比数列，求a11（用含有n的式

子表示）；

222224（3）是否存在等差数列{xn}，使得xnC2xn1C3xn2C4x2Cnx1Cn1Cn3？

若存在，则求出该等差数列的通项公式；若不存在，则说明理由．

第1行 第2行

a11 a21 a 22 a31 a 32 a 33 第3行

43 a44 第4行 a41 a42 a … …

第n行 an1 an2 an3 … an(n-1) ann

（第20题）

数学参考答案及评分细则

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写

在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

63； 6．2； 7．64或43； 8．16； 6432129．1； 10．2； 11．； 12． ；13．2； 14．ab2.

43231．5； 2．(3,1)； 3．7； 4．； 5．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．．．．证明过程或演算步骤． 15．(1)

23z1ai(ai)(12i)(a2)(2a1)i，……………………3分 z212i(12i)(12i)5a20,z1因为为纯虚数，所以5

z22a10,所以a2. ……………………7分

2(2)(z1b+2)2(bi)2b12bi， ……………………9分

b210，由已知 ……………………11分

2b0，解得b1，

所以b的取值范围为(1,). ……………………14分

ab16．（1）设矩阵M，

cda1010ab2则， 即2c01cd012b1001，……………………2分

d

a12b0故，解得a2,b0,c0,d1， ………………………………4分

c02d120所以矩阵M . …………………………………6分 01（2）设Px, y是曲线C上任一点，在矩阵M对应的变换下，在曲线C1上的对应的点为P'x', y'，

x'20x2x则yy， ………………10分 01y'1x'2x,xx'2， ………………12分 即∴y'y,yy'2x'y'21， 代入曲线C得42x所以曲线C1的方程为y21 . ………………………14分 417.解：（1）以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，

则A0,0,0,B1,0,0,C1,1,0,D0,3,0,P0,0,1z ，………………2分 则PD0,3,1,AB1,0,0， 设Ex,y,z，则PEx,y,z1， x x 1B 31由PEPD得E0,,，……4分

P A D C (第17题)

E y 222所以CE1,,，则CE11226， 2又因为AB1，ABCE1，………………………6分

所以cosAB,CEABCEABCE6， 3故CE与AB所成角的余弦值为6.………………………8分 3(2) CD1,2,0，设平面PCD的一个法向量为nx,y,z,

nPD03yz0由得，

x2y0nCD0令y1得x2,z3，所以n2,1,3, ………………………10分 由条件知AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为AB1,0,0， 则AB1,n14,ABn2， ………………………12分 所以cosAB,nABnABn14， 7所以二面角CPDA的余弦值为14. ………………………14分 7

18解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到2个红球1个黑球时，得分总和最高为8分，…2分

21C2C331得分为8分的概率为P(X8)， ……………4分 312040C10（2）由题意知,袋子中共有10个球,

3C510P(X3)3，

C1012012C3C530P(X4)， 3C10120121C2C5C32C535P(X5)， 33C10C101201113C2C3C5C331P(X6)， 33C10C101202112C2C5C2C311P(X7)， 33C10C10120

21C2C3 ……………13分 P(X8)33120C10（X=3，4，8时算对一种得1分，X=5,6,7时算对一种得2分）

所以X的数学期望

E(X)315分

1030353111361251456785.1.………

120120120120120120120101；（2）X的数学期望为5.1. …16分 4答：（1）该顾客获得高分的概率是

rr19解：(1) 若ai1,n10，f(x)(1x)10展开式的第r+1项为Tr1C10x，

3∴x系数为C1031098120； ……………………4分

321(2)若aii,n8，则f(x)(1x)(12x)(13x)...(18x)，

方法1：在8个括号中任选两个，展开式中x项的系数为所有任选的两个括号中x项的系

数之积

的和，即1213141823242878

=1(2+3+…+8)+2(3+4+…+8)+3(4+5+…+8)+ …+7×8 3566901041059056546.…10分

方法2：

2121314展开式中x项的系数为：

21823242878

(1238)2(1222322n2n282)546.

n22(3)由题意f(x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)，……12分 设F(x)=f(x)(1x)，即F(x)(1x)(1x)， 当x0n24n22n22n222时，F(x)=(12)(12)

1n22n22n2n2CC(2)C(2)02 2[CnCn(2)222C(2)CC(2)C(2)n2n2n20n21n22n22C(2)n2n2n20242]2(CnCn2Cn2+)， …………………15分

222n2n2C,C,C,0n22n24n2为正整数，∴F(x)=(12)(12)为正整数，

n22即f(x)(1x)为正整数. ………………16分

20解：(1)方法1：当n=4时，a411,a423,a435,a447,

则a314,a328,a3312，a2112,a2220，所以a1132； ……………3分 方法2：当n=4时，a11a21a22a312a32a33a413a423a43a44

=133357=32.

(2)a11a21a22a312a32a33a413a423a43a44

01234=C4a51C4a52C4a53C4a54C4a55

012=…=Cn1an1Cn1an2Cn1an30122=Cn1Cn12Cn12n1Cn1ann ……………6分

n1n1 Cn12=(12)n13n1 . ……………9分 (3)假设存在等差数列{xn}.

24令n=1,得x1C2C4,x11； 224令n=2,得x2C2x1C3C5,x22；

猜想d1,xn1(n1)1n. ……………11分

222证明如下：即证nC2(n1)C3(n2)C42242CnCn1Cn3

（方法一）：（用数学归纳法证明）

24①当n=1时，左边=C2=1,右边=C4=1.左边=右边. ……………11分 222②假设当n=k时，等式成立，即kC2(k1)C3(k2)C4222那么当n=k+1时，(k1)C2kC3(k1)C4222=kC2(k1)C3(k2)C42Ck2Ck21Ck43，

2Ck21Ck22，

Ck21)Ck22………

222Ck2Ck21(C2C313分

432434=Ck3Ck2Ck2Ck3Ck3Ck4，

即当n=k+1时，等式也成立， 综合①②等式成立.

所以存在等差数列{xn}，

222即xn=n使得xnC2xn1C3xn2C4224x2Cnx1CnC1n3. ……………16分

(方法二)：

2222左边=C2(n1)C2(n1)C3(n2)C42322=C2(n1)C3(n1)C3(n2)C4232=C2(n1)C4(n2)C422 2CnCn122 2CnCn122 2CnCn122 2CnCn12332=C2C4(n2)C4(n2)C4233=C2C4(n2)C522 2CnCn1=…

233=C2C4C5433=C4C4C543=C6C63 ……………13分 Cn2343Cn2=C5C53Cn2

34Cn2=Cn3=右边.

所以存在等差数列{xn}，

222即xn=n使得xnC2xn1C3xn2C4224x2Cnx1CnC1n3.……16分