二次函数复习讲义

二次函数复习

考点一：二次函数的定义：

我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。

称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项 经典例题：

1. 下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y2x38x23 (2) y（4）yx(1x) （5）yx2

2. 若y(m2m)xmm是关于x的二次函数，则m的值为（ ） A. m=-2 B. m=1 C. m=-2或m=1 D. m=-1或m=2 考点二：次函数的图象和性质

一．顶点坐标：

例1.抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标为（ ） A、（3，﹣4） B、（3，4） C、（﹣3，﹣4） D、（﹣3，4） 例２．抛物线y＝－(x＋2)2－3的顶点坐标是

(A) （2，－3） (B) （－2，3） (C) （2，3） (D) （－2，－3） ．

12例3.把二次函数yx2x3用配方法化成yaxhk的形式（）

4212ymxx1 (3) 2xA.yx222 B. y1x224

41411C.y1x224 D. yx3

2422二．对称轴：

例1.竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是第（ ）

A．3s B．3.5s C．4s D 4.2s

例2.已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是 （ ）

A .（1，0） B.（2，0） C.（－2，0） D.（－1，0）

1

例3.若二次函数yax2bxc的x与y的部分对应值如下表：

x －7 －6 －5 －4 －3 －2 y －27 －13 ﹣3 3 5 3 则当x＝1时，y的值为（ ） A、5 B、﹣3 C、－13 D、－27 三．最值

例1.已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）

A、有最小值0，有最大值3 B、有最小值﹣1，有最大值0 C、有最小值﹣1，有最大值3 D、有最小值﹣1，无最大值 四．增减性

例1.已知二次函数yax2bxc中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1时，y1 与y2的大小关系正确的是（ ）

A. y1 >y2 B. y1 < y2 C. y1 ≥y2 D. y1 ≤y2 例2.若二次函数yx26xc的图象经过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（32，y3）三点，则关于y1、y2、y3大小关系正确的是 （ ） A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y1>y2 跟踪训练：

1.如图，关于抛物线y(x1)22，下列说法错误的是（ ）

A．顶点坐标为(1，2) B．对称轴是直线x=l C．开口方向向上

D．当x>1时，y随x的增大而减小

2.已知二次函数y＝ax2bxca0的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A．a＞0

B．当y随x的增大x＞1时，y随x的增大而增大 C．c＜0

D．3是方程ax2bxc＝0的一个根

2

考点三.二次函数表达式

例1.下列二次函数中，图象以直线x2为对称轴、且经过点(0，1)的是 （ ）

A．yx21 B．yx21

22C．yx23 D．yx23

2.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

A．50m B．100m C．160m D．200m

3.2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物

12

线y=－x+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距

4

离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）

123123

（A）y=－x+x+1 （B）y=－x+x－1

44441313

（C）y=－x2－x+1 （D）y=－x2－x－1

4444

4.已知：抛物线与直线y=x+3分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点A和点C，且抛物线的对称轴为直线x=－2。 （1）求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标。 （2）试确定抛物线的解析式。

3

22

5.如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

6.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3，AD=2将此矩形置于直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，点C在直线y=x-2上，

（1）按题设画出平面直角坐标系，并求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）若直线y=x-2与y轴交于点E，抛物线y=ax2+bx+c过E、A、B三点，求抛物线的表达式；

（3）判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD的内部？并说明理由：

D C A B

4

考点四.二次函数图象与a、b、c 的关系

1. a决定开口方向及开口大小

2. b和a共同决定对称轴的位置，遵循“左同右异”的原则 3. c决定抛物线与y轴交点的位置

4.当x=1时，y=a+b+c 当x=-1时，y=a-b+c 5.抛物线与x轴交点的个数决定了b2-4ac的符号。 例1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=﹣1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是 （ ）

A、①②③④ B、②④⑤ C、②③④ D、①④⑤

例2.如图，二次函数yax2bxc的图像与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,1），下列结论：

2①ac＜0；②ab0； ③4acb24a；④abc＜0.其中正确结论的个数是 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

例3.如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0； （4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有 （ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、1个 考点五.二次函数的平移与变换

y1O12x平移法则：遵循“左加右减，上加下减”原则.左右针对x，上下针对y。 说明：

① 平移时与上、下、左、右平移的先后顺序无关，既可先左右后上下，也可先上下后左右；

② 抛物线的移动主要看顶点的移动，即在平移时只要抓住顶点的位置变化； ③ 抛物线ya(xh)2k经过反向平移也可得到抛物线yax2的图象。

例1.将抛物线y3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）

A．y3(x2)23 B．y3(x2)23 C．y3(x2)23 D．y3(x2)23

例2.二次函数yx24x3的图像可以由二次函数yx2的图像平移而得到，下列平移正确的是（ ）

A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位

5

B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

例3．把抛物线y＝ax22+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下

平移2个单位，所得的图象的解析式是y＝x2－3x+5，则a+b+c=__________.

考点六：二次函数与一元二次方程及不等式

例1.已知一元二次方程ax2bxc0的两个实数根x1、x2满足x1＋x2＝4和x1•x2＝3，那么二次函数yax2bxca>0的图象可能是（ ）

A. B. C. D

例2.已知二次函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）

A、k＜4 B、k≤4 C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3 例3.二次函数y=x2－2x－3的图象如图所示。 当y＜0时，自变量x的取值范围是 A．－1＜x＜3 B．x＜－1 C．x＞3 D．x＜－3或x＞3

例4.如图，一次函数y1kxn(k0)与二次函数

y2ax2bxc(a0)的图象相交于A(1，5)、B(9，2)两点，则关于x的不等式kxnax2bxc的解集为( )

A、1x9 B、1x9 C、1x9 D、x1或x9 例5.根据下列表格的对应值： x 2 3.23 3.24 3.25 3.26 -0.0-0.02 0.03 0.09 axbxc 6 判断函数yax2bxc(a≠0，a，b，c为常数)与x轴的其中一个交点的横坐标x的范围是（ ）

A、3＜x＜3.23 B、3.23＜x＜3.24 C、3.24＜x＜3.25 D、3.25 ＜x＜3.26

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考点七：二次函数最值。 一：最大面积

例.如图所示，E，F分别是边长为4的正方形ABCD的边BC，CD上的点，CE=1，CF=4/3，直线FE交AB的延长线于G。过线段FG上的一个动点H作HM垂直AG，HN垂直AD，垂足分别为M，N。设HM＝ｘ，矩形AMHN的面积为ｙ．

（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式。 （２）当ｘ为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？

F D C E H N

A M B

二、最大利润

例．在“母亲节”期间，某校部分参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示．

(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润

w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式；

(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出最大利润．

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考点8.二次函数综合题

1.已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3，0)和点C，与y轴交于点B(0，3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上找一点D，使△BDC的周长最小，并求出点D的坐标及最小周长；

(3)在第一象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）

（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。 y

A球网69边界18x2O

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