圆的基本概念和性质-教学设计

圆的基本概念和性质

教材：河北省义务教育课程标准实验教科书九年级《数学》上册第章第一节第课时

教材分析

圆在现实生活中有着广泛的应用，教材通过实例（汽车轮和皮带传动轮等）让学生认识到圆在生活中的广泛应用，感受圆的特性. 体会数学源于生活，又服务于生活，最终要解决生活中的问题的思想.通过操作发现圆的轴对称性和中心对称性，并利用圆的轴对称这一特性通过折叠变换发现垂径定理及推论，然后通过推理说明它的对称性.这些规律是证明

线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的有关计算和作图提供了方法与依据.

教学设想

第一课时通过创设问题情境，引导学生通过观察、思考、归纳和概括形成圆的概念，让学生通过动手操作，发现圆的轴对称性和中心对称性.根据本节内容的特点，应将观察、思考、操作和实际等活动贯穿于教学的全过程，使学生积累一定的数学活动的经验.

第二课时的重点是让学生动手操作以及推理探究.在垂径定理及其逆定理的教学过程中，通过让学生动手操作来发现结论，同时，要引导学生通过推理的方式说明结论的正确性.

利用现代多媒体帮助学生理解和学习数学，探索与分析，讨论与归纳等数学活动是学习的主要方式.

教学目标

知识与能力

.能在图形中准确识别圆、圆心、半径、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等； .认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；

.能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明.

个人整理资料， 仅供交流学习

过程与方法

.经历抽象和建立圆的概念、探究圆的对称性及相关性质的过程，深刻理解圆及有关概念；

.通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；

.利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程. 情感、态度与价值观

.通过对圆的探索，使学生感受圆的对称美，从现实生活中体现的数学美； .体会“从一般到特殊”的数学思想方法及在解决问题的过程中与他人合作的重要性.

教学重难点及突破

重点

.圆的有关概念；.垂径定理探索及其应用. 难点

等弧概念的理解；垂径定理探索及其应用. 教学突破

引导学生亲自动手，在操作中明确概念，（如教师用两根长度相等的铁丝，变成弧度不同的两条弧加以比较，等弧的概念很容易被突破），在旋转中总结同圆或等圆中弦、弧之间的关系，在折叠中总结垂径定理及逆定理，直观感受这些规律.

教学准备

教师准备

多媒体，圆规，直尺，两根长度相等的铁丝 学生准备

圆规，直尺，半透明纸

第课时

教学设计

一、创设情境，引入新课

个人整理资料， 仅供交流学习

.常言道：“没有规矩不成方圆.”在我国“圆”意味着圆满、完美.毕达哥拉斯曾经说：“一切平面图形中最美的是圆形.”日常生活中，圆的图案随处可见，你能举出一些例子吗？

（在实际生活中，圆形物体的例子很多．比如说：奥运五环旗的五环是圆的，车辆的轮子是圆的，各种管道的截面是圆的，多数碗口、盆沿都是圆的……）

圆为什么这么备受亲睐呢？因为圆有着与众不同的特征，在小学，我们已经学过圆的一些知识，本章我们将继续研究圆的有关性质和应用.

点评：以学生熟悉的谚语开头，进入本章，目的是激发学生探究圆的有关性质的兴趣.让学生列举圆的有关例子，使学生初步体会圆在生活中的应用，数学就在生活中. .观察汽车和皮带转动轮的图片（教材或通过多媒体呈现），思考：人们为什么把车轮都做成圆形的呢？如果把汽车轮和皮带传动轮做成其他的形状，比方说三角形、四边形等，你认为可以吗？和大家交流你的看法.

多媒体演示木偶骑不同形状的轮子的小车课件.

学生思考，同桌讨论，并回答（“不能！”“它们无法滚动！”“运动起来忽高忽低”……）.

教师总结：汽车轮和皮带传动轮有一个共同特点：轮的边缘上任何一点到轴心的距离都相等；假如把汽车轮和皮带传动轮改成三角形或四边形的形状，无论轴心在什么位置，转起来都不平稳.为什么呢？这就是我们本节要学习的内容，什么是圆？圆有哪些性质？(板书课题)

点评：图片反映的是生活现象，让学生再次体会到圆在生活中的广泛应用，通过圆与三角形、四边形的比较，结合自己的生活体验，感受圆的特性，为总结圆的定义打下基础. 二、操作探究，获取新知

（一）大家谈谈，归纳圆的定义

同学们知道怎样画出一个圆么？你都有哪些方法？（圆规、绳子等）

观察图片（教材或通过多媒体呈现），让学生谈谈小惠与小亮在操场上用绳子画圆的过程：首先，由小惠把绳子的一端固定在操场上的某一点，小亮在绳子的另一端栓一小段竹竿；然后小亮拉紧绳子，绕小惠转一圈，竹竿画出的痕迹就是圆.大家同意他们的做法对吗？

点评：通过观察小惠和小亮画圆的过程，使学生感受到“圆是由到某定点的距离相等的所有的点组成的图形”，为形成圆的概念作好铺垫.

学生畅所欲言，然后教师用圆规演示画圆的过程，总结圆定义并打开幻灯片.显示： 平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，线段叫做圆的半径.

个人整理资料， 仅供交流学习

以为圆心的圆，记做⊙，读作：圆。

强调：确定一个圆需两个条件：一是圆心，二是半径，圆心确定位置，半径确定大小，二者缺一不可；圆是一条封闭的曲线，即是“圆周”而不是“圆面”．

点评：通过模拟实验，使学生更深一步地认识圆，进而归纳圆的定义，水到渠成，同时体会数学语言的严密性.

（二）动手操作，探究圆的对称性

出示问题：.在一张半透明的纸上以为圆心画一个圆，将这张纸沿过点的直线对折，你发现了什么？

.将一个圆绕圆心旋转°后，是否与原图形重合？你可以得到一个什么事实？

要求学生独立操作后分小组交流所获结论，结合教师课件演示，总结圆的轴对称性和中心对称性（幻灯片显示）：

圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.

点评：亲自动手能提高兴趣，课件演示形象直观且加深印象，及时总结能锻炼学生的语言表达能力和概括能力.

（三）圆的有关概念： .弦和直径

利用上述图形，让学生任意连结圆上两点，就得到一条线段.指出：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 过圆心的弦叫做直径.很显然，连结圆上任意两个点可以得到一条弦.如图线段，都是⊙的弦.

思考：直径和半径有什么关系？（在同一个圆中，直径等于半径的倍）

.弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.用符号“⌒”表示，如以、为端点的弧，记做CD.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧叫做优弧，如图中的

等.小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的

，

等.

⌒.等圆和等弧

如图，用多媒体课件演示两圆重合的过程，总结：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆.

个人整理资料， 仅供交流学习

多媒体课件演示两段弧重合的过程，总结：能够互相重合的弧叫做等弧.强调指出：等弧存在于同圆或等圆中.

点评：根据学生的年龄特点，没有兴趣机械记忆这些枯燥的定义，所以要培养他们的理解能力，而结合图形介绍有关概念，便于识别、理解和把握.

（四）概念辨析：

.直径是弦，弦是直径.这句话正确吗？（强调：直径是弦，但弦不一定是直径，只有在弦经过圆心时，这条弦才是直径）

.半圆是弧吗？弧是不是半圆？(强调：半圆是弧，但弧不一定是半圆，只有直径的两个端点分圆成的两条弧才是半圆)

.长度相等的两条弧是等弧吗？为什么？(教师用两根长度相等的铁丝，变成弧度

不同的两条弧加以比较，加深对等弧的概念的理解，强调：长度相等的弧不一定是

等弧，等弧必须存在于同圆或等圆中)

点评：这组问题的设计，目的是加深对概念的理解.

三、巩固练习，知识反馈 .教材— 练习，.

.根据学生完成情况及时评价，鼓励完成较好的同学，对学习有困难的学生适当给予指导和帮助.

点评：这是针对本节内容的基础练习，所以要求全部学生掌握，从而更进一步的掌握圆的有关概念.

四、归纳小结

教师：今天这节课即将结束，你能告诉老师你的收获吗？ 学生相互归纳和补充. 教师在板书中标注并适当拓展.

点评：及时总结学习体会，使知识更加系统化，也提高学生数学语言表达能力. 五、布置作业 .教材习题、.

.选做题：如图，菱形的对角线和相交于点，，，，分别是，，，的中点，求证：，，，四个点在以为圆心的同一个圆上．

Ｄ

Ｈ Ｇ Ａ Ｏ Ｃ

Ｅ Ｆ 个人整理资料， 仅供交流学习

点评：这是课堂知识的延伸，目的是巩固课堂知识，体现分层次教学，照顾个体差异. 六、板书设计 圆的基本概念和性质 一、有关概念 二、圆的对称性 三、练习 圆 半径 图形 轴对称性 弦 直径 中心对称性 弧 优弧 劣弧 等圆 等弧 ………………

练习设计

一、选择题

.一个圆的直径是厘米，那么它的半径是（ ）厘米。 .不确定

.下列命题正确的是 （ ）

.过圆心的线段叫做圆的直径 .大于劣弧的弧叫做优弧 .半圆所对的弦是半径 .直径是圆中最长的弦 .下列说法正确的是 （ ）

.圆的任意一条直径都是它的对称轴 .经过圆心的直线是圆的对称轴

.与圆有公共点的直线是圆的对称轴 .与圆的半径垂直的直线是圆的对称轴 二、填空题

.下列说法：①线段是弦；②直径是弦；③经过圆心的弦是直径；④经过圆上一点有无数条直径.其中正确的是.

.在你所学过的平面图形中，写出两个既是中心对称图形，又是轴对称图形的图形、. .在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以为半径的圆与两坐标轴的交点坐标分别是. 三、解答题

.如图，墙与墙垂直，在地面的处有一木柱，系着一匹马，已知系马的绳子的长度为，试在图中画出马的活动区域．

Ｃ

马

4m

Ａ

Ｄ Ｂ

个人整理资料， 仅供交流学习

.如图，，是⊙的两条直径． 求证：四边形为矩形．

Ｄ Ｏ Ａ Ｃ

Ｂ

教学反思

这是一节概念课，在学生对圆已初步了解的基础上，进一步总结圆的有关概念，探究圆的有关性质，为提高学生兴趣和学习效率，避免泛泛的介绍，就要让学生尽量多的参与“做”、“说”.建议如下

.课堂上，教师起组织、引导作用，把时间和空间都留给学生进行思考、探究、交流，关注学生在学习的过程表现出来的情感，态度，教师的作用，在于营造一个积极探索的民主氛围，为学生提供有启发性的讨论平台，多鼓励学生表达，引导学生学会分享彼此的成果，再重新审视自己的想法.

.课堂上多让学生动手实践操作，这样既参与知识的发生、发展、形成过程，同时也感受到数学知识来源于生活，还可以应用于生活的乐趣，如讨论车轮为什么是圆的.本节课最突出的特点是让学生参与数学活动，并在学习中学会合作，学会表达，学会交流.