二次函数经典解题技巧

课 题 教学目标 介绍一些些能加快速度的计算公式 二次函数常识点总汇 教学内容 3求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：b4acb22yaxbxcax2a4a2，∴顶点是bb4acb2（，），对称轴是直线x. 2a2a4a （2）配方法：应用配方的方法，将抛物线的解析式化为yaxhk的方式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线xh. 2 （3）应用抛物线的对称性：因为抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才干做到满有把握. yax2bxc中，a,b,c的感化 2 （1）a决定开口方向及开口大小，这与yax中的a完整一样. 2 （2）b和ayaxbxc的对称轴是直线 bbbx，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左边；③0（即a、b2aaa异号）时，对称轴在y轴右边. 2 （3）c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的地位. 2 当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只要一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负半轴. by轴右边，则 0. a （1）普通式： （2）顶点式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择普通式. 2yaxhk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2. y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c). 22 （2）与y轴平行的直线xh与抛物线yaxbxc有且只要一个交点(h,ahbhc). （3）抛物线与x轴的交点 22 二次函数yaxbxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程axbxc0x轴的交点 （1）情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 0抛物线与x轴订交； ②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切； ③没有交点0抛物线与x轴相离. ①有两个交点 （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根. （5）一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由方程组 ykxn2yaxbxcG只要一个交点；③方程组无解时l与G没有交点. 2 （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yaxbxc与x轴两交点为Ax1，0，Bx2，0，因为x1、x2是方程ax2bxc0的两个根，故 bcx1x2,x1x2aaABx1x2的解的数目来确定：①方程组有两组分歧的解时l与G有两个交点; ②方程组只要一组解时l与x1x22x1x22b24acb4c4x1x2aaaa2 6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于x2y2 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数S=PM•PN=k(k0)图像上任一点xky•xxy. y,xyk,Sk. xyP作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积考点三、二次函数的最值 b4acb2如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x时，y最值. 2a4ab如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1xx2内，若在此范围内，则当2ab4acb2x=时，y最值；若不在此范围内，则须要考虑函数在x1xx2范围内的 2a4a 2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但把握这个常识点，对提高答题速度有很大帮忙，可以大大节省做题的时间） 3、直线斜率：yy b为直线在y轴上的截距 ktan21x2x14、直线方程： 普通两点斜截距 1，普通 普通 直线方程 ax+by+c=0 2，两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两点式: yy1 3，点斜晓得一点与斜率y2y1(xx1)x2x1 --最最经常使用，记牢 yy1k(xx1) 4，斜截 斜截式方程，简称斜截式: y＝kx＋b(k≠0) 5 ，截距 由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距 式方程，简称截距式： 记牢可大幅提高运算速度 5、设两条直线分别为，l1： 若l1 若xy1 abyk1xb1l2：yk2xb2 //l2，则有l1//l2k1k2且b1b2. l1l2k1k21 6、点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: dkx0y0bk(1)22kx0y0bk12 对于点P（x0，y0）到直线滴普通式方程 ax+by+c=0滴距离有 dax0by0ca2b2经常使用记牢 2、如图，已知二次函数yax24xc的图象与坐标轴交于点A（-1， 0）和点 B（0，-5）． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 0a(1)4(1)c,解：（1）根据题意，得…2分 25a040c.a1,解得 …………………………3分 c5.∴二次函数的表达式为yx24x5．……4分 （2）令y=0，得二次函数yx24x5的图象与x轴 的另一个交点坐标C（5, 0）.……………5分 因为P是对称轴x2上一点， 连结AB，因为ABOA2OB226， 要使△ABP的周长最小，只需PAPB最小.…………………………………6分 因为点A与点C关于对称轴x2对称，连结BC交对称轴于点P，则PAPB= BP+PC =BC，根据两点之间，线段最短，可得PAPB的最小值为BC. 因此BC与对称轴x2的交点P就是所求的点.……………………………………8分 设直线BC的解析式为ykxb，根据题意，可得2k1,b5,解得 b5.05kb.所以直线BC的解析式为yx5.…………………………………………………9分 是以直线BC与对称轴x2的交点坐标是方程组x2,x2,的解，解得 y3.yx5所求的点P的坐标为（2，-3）.……………………………10分 压轴题中求最值 此种题多分类讨论，求出函数关系式，再求各种情况的最值，最初求出最值. 典型例题： 1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速F点挪动速度是E点挪动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点挪动距离为x（x＞0）. ⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式暗示），当x＝2时，点G的地位在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD堆叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式； ⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值. A D G B E→ F→ C 解：⑴ x，D点 ⑵①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝32x； 4②分两种情况： Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上， △EFG与梯形ABCD堆叠部分为四边形EFNM， ∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6. 因为在Rt△NMG中，∠G＝60°， 所以，此时 y＝G A D M N 337329393x－（3x－6）＝. xx8224822Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上， △EFG与梯形ABCD堆叠部分为△ECP， ∵EC＝6－x, ∴y＝B E F C 图1 3323393（6－x）＝. xx82282⑶当0＜x≤2时，∵y＝∴x＝2时，y最大＝32x在x＞0时，y随x增大而增大， 43； G 18937329393当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝； xx77822323393当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小， xxA D 82293∴x＝3时，y最大＝. P 81893综上所述：当x＝时，y最大＝ 77B E C F 图2 如图，直线H 3yx6分别与4x轴、y轴交于A、B两点；直线y5x△ACD4堆叠部分（暗影部分）的面积为S（平方单位），点E的活动时间为t（秒）. （1）求点C的坐标. （2）当00时，直接写出点（4，92）在正方形PQMN内部时t的取值范围. 【参考公式：二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（b4acb2,2a4a）.】 3yx6,x3,4解：（1）由题意，得解得15 5y.yx.4415∴C（3,）. 4（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t. ∴点Q的纵坐标为54(8-t)，点P的纵坐标为34t， ∴PQ=54 (8-t)-34t=10-2t. 当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=103. 当06. 5 ∵325100>时，S最大值=21009）2+252，∴t=52时，S最大值=252. 当103≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S随t的增大而减小， . ，∴S的最大值为25.