高一数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2
2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若loga＜1，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜ B．a＞ C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1
4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（ ）
A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3 5．在平行四边形ABCD中，若
，则必有（ ）
A． B．或 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形 6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C．λ+μ的最大值为3 D．λ+μ的最小值不存在
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=______． 10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为______．
11．已知三个向量12．已知α∈（
=（k，12），，π），β∈（﹣
=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k=______．
，cosβ=
，则α﹣β的值为______．
，0），且sinα=
=______．
13．已知tanθ=3，则
14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是______．
三、解答题（共4小题，满分44分） 15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时： （1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？
16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣（1）求函数f（x）的周期； （2）求函数f（x）在[﹣
17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜
）．
，
]的取值范围． cos2x+
．
（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，φ的值； （2）若φ=
且函数f（x）在[0，
]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围．
18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1； ③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围； （Ⅲ）已知f（x）=
是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．
北京市首师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试卷参考答案
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．设A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是（ ） A．a＜2 B．a＞﹣2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 【考点】集合关系中的参数取值问题．
【分析】A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅，两个集合有公共元素，得到两个集合中所包含的元素有公共的元素，得到a与﹣1的关系．
【解答】解：∵A={x|﹣1≤x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B≠∅， ∴两个集合有公共元素， ∴a要在﹣1的右边， ∴a＞﹣1， 故选C．
2．若角α满足条件sin2α＜0，cosα﹣sinα＜0，则α在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】象限角、轴线角；二倍角的正弦．
【分析】由sin2α＜0，确定2α的象限，确定α的象限范围，根据cosα﹣sinα＜0，判定α的具体象限． 【解答】解：∵sin2α＜0，∴2α在第三、四象限或y的负半轴．2kπ+π＜2α＜2kπ+2π，k∈Z，∴kπ+
＜α＜kπ+π，k∈Z
∴α在第二、四象限．又∵cosα﹣sinα＜0， ∴α在第二象限． 故选：B．
3．若loga＜1，则a的取值范围是（ ）
A．0＜a＜ B．a＞ C．＜a＜1 D．0＜a＜或a＞1
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】运用对数函数的单调性，分a＞1，0＜a＜1两种情况，注意先求交集，再求并集即可． 【解答】解：loga＜1=logaa，
当a＞1时，不等式即为a＞，则有a＞1成立； 当0＜a＜1时，不等式即为a＜，即有0＜a＜． 综上可得，a的范围为a＞1或0＜a＜． 故选D．
4．已知函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式是（ ）
A．g（x）=2﹣x+3+x﹣3 B．g（x）=2﹣x﹣3+x﹣3 C．g（x）=2﹣x+3+x+3 D．g（x）=2﹣x﹣3+x+3 【考点】函数的图象与图象变化．
【分析】欲求g（x）的解析式，只须根据：“f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象”将x→x﹣3由f（x）的解析式即可得到．
【解答】解：∵函数f（x）=2﹣x+x，将f（x）的图象向右平移3个单位，得到函数g（x）的图象， ∴x→x﹣3，
又∵f（x）=2﹣x+x
∴g（x）=f（x﹣3）=2﹣x+3+x﹣3． 故选A．
5．在平行四边形ABCD中，若
，则必有（ ）
A． B．或 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形
【考点】向量在几何中的应用；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【分析】先由向量的加法运算法则知【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵∴平行四边形的对角线相等
由矩形的定义知：平行四边形ABCD是矩形． 故选C
6．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ）
知对角线相等，再由矩形定义求解．
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．
【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B， 由当x=
时，y=1＞0，
当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选：D．
7．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可得函数y=f（x）是周期为2的偶函数，数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数．
【解答】解：由题意可得函数y=f（x）是周期 为2的偶函数，
再根据x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2， 可得函数y=f（x）的图象，
数形结合可得函数y=f（x）与y=log5x的 图象的交点个数为 4， 故选B．
8．如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD．若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中，下列判断正确的是（ ）
A．满足λ+μ=2的点P必为BC的中点 B．满足λ+μ=1的点P有且只有一个 C．λ+μ的最大值为3 D．λ+μ的最小值不存在
【考点】向量的加法及其几何意义． 【分析】建立坐标系可得=（λ﹣μ，μ），A，B选项可举反例说明，通过P的位置的讨论，结合不等式的性质可得0≤λ+μ≤3，进而可判C，D的正误，进而可得答案． 【解答】解：由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系， 则B（1，0），E（﹣1，1），故=（1，0），=（﹣1，1）， 所以=（λ﹣μ，μ）， 当λ=μ=1时， =（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，但P不是BC的中点，故A错误； 当λ=1，μ=0时， =（1，0），此时点P与B重合，满足λ+μ=1，
当λ=，μ=时， =（0，），此时点P为AD的中点，满足λ+μ=1，
故满足λ+μ=1的点不唯一，故B错误；
当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3， 当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，所以0≤λ﹣1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3， 当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2， 综上可得0≤λ+μ≤3，故C正确，D错误． 故选C
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 9．cos70°cos335°+sin110°sin25°=
．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数． 【分析】根据诱导公式和两角差的余弦公式计算即可．
【解答】解：cos70°cos335°+sin110°sin25°=cos70°cos25°+sin70°sin25°=cos（70°﹣25°）=cos45°=故答案为：
10．若=（2，3），=（﹣1，1），则在方向上的正射影的数量为
．
，
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可． 【解答】解：∵=（2，3），=（﹣1，1）， ∴在方向上的正射影的数量||cos＜，＞=
=
=
，
故答案为：
11．已知三个向量=（k，12），=（4，5），=（10，k），且A、B、C三点共线，则k= ﹣2或11 ． 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】先求出和的坐标，利用和共线的性质x1y2﹣x2y1=0，解方程求出 k的值． 【解答】解：由题意可得=（4﹣k，﹣7），=（6，k﹣5），由于和共线， 故有（4﹣k）（k﹣5）+42=0，解得 k=11或 k=﹣2． 故答案为：﹣2或11．
12．已知α∈（
，π），β∈（﹣
，0），且sinα=
，cosβ=
，则α﹣β的值为
．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】根据αβ的取值范围，利用同角三角函数的基本关系分别求得cosα和sinβ，由两角差的和正弦公式求得sin（α﹣β），根据α﹣β∈（【解答】解：由α∈（∴α﹣β∈（cosα=﹣sinβ=﹣
，
，π），β∈（﹣
，
），即可求得α﹣β的值．
，cosβ=
，
，0），sinα=
），cosα＜0，sinβ＜0， =﹣=﹣
=﹣=﹣
， ，
sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ， ==﹣
×，
． ． ﹣（﹣
）（﹣
），
∴α﹣β=故答案为：
13．已知tanθ=3，则= ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角公式以及平方关系式化简表达式为正切函数的形式，代入求解即可． 【解答】解：tanθ=3，则
=
=
=
=．
故答案为：．
14．使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 a≤﹣2 ． 【考点】其他不等式的解法．
【分析】利用公式1=cos2x+sin2x，进行代换，可得cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．
【解答】解：1﹣cos2x+acosx+a2≥1+cosx⇒cos2x+（1﹣a）cosx﹣a2≤0， 令t=cosx， ∵x∈R，
∴t∈[﹣1，1]，
t2+（1﹣a）t﹣a2≤0，由题意知a＜0
∴．
故答案为a≤﹣2．
三、解答题（共4小题，满分44分） 15．已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时： （1）k+与﹣3垂直；
（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？ 【考点】平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量． 【分析】（1）由题意可得 k+ 和﹣3 的坐标，由 k+ 与﹣3 垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．
（2）由 k+ 与﹣3 平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+ 和﹣3 的坐标，可得k+ 与﹣3 方向相反． 【解答】解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4）， 由 k+ 与﹣3 垂直可得 （k﹣3，2k+2）（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）•（﹣4）=0，解得k=19． （2）由 k+ 与﹣3 平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣， 此时，k+=﹣
16．已知函数f（x）=sinxcosx﹣（1）求函数f（x）的周期； （2）求函数f（x）在[﹣
，
]的取值范围． cos2x+
．
+=（﹣
，），﹣3=（10，﹣4），显然k+ 与﹣3 方向相反．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 【分析】（1）化简函数f（x）为Asin（ωx+φ）的形式，求出最小正周期； （2）由x∈[﹣
，
]求出相位的取值范围，再计算f（x）的取值范围即可．
cos2x+
【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx﹣=sin2x﹣=sin2x﹣
cos2x
+
=sin（2x﹣由T=
），…
得，最小正周期T=π；…
，
]，∴﹣）≤1，… ，
]的取值范围：[﹣1，1]．
≤2x﹣
≤π，…
（2）∵x∈[﹣
∴﹣1≤sin（2x﹣函数f（x）在[﹣
17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．
（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2且f（x）在[2，6]上单调递减，求ω，
φ的值； （2）若φ=
且函数f（x）在[0，
]上单调递增，求ω的取值范围；
（3）若φ=0且函数f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围． 【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值． 【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的图象与性质，结合题意求出周期T，即可得出ω的值，再根据f（x）的最值求出φ的值； （2）根据φ=
时函数f（x）在[0，
]上单调递增，列出不等式求出ω的取值范围；
（3）根据φ=0时f（x）为奇函数，结合正弦函数的图象与性质即可求出满足条件的ω的取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜当x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=﹣2， ∴T=2（6﹣2）=8=∴f（x）=2sin（
，∴ω=x+φ）；
+φ），∴cosφ=1； ，
），
把（2，2）代入f（x）得2=2sin（∵|φ|＜（2）当φ=∴∴
≤ωx+ω+
≤
，∴φ=0；
时，函数f（x）=2sin（ωx+≤，
ω+
，
）在[0，]上单调递增，
解得ω≤1； 又ω＞0，
∴ω的取值范围是（0，1]；
（3）当φ=0时，f（x）=2sinωx，
∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[﹣π，π]上恰有19个根， 只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根， ∴T≤π＜5T，即•
≤π＜5•
，
解得9≤ω＜10，即ω的取值范围是[9，10）．
18．如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．
（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1； ③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论） （Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围； （Ⅲ）已知f（x）=
是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．
【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】（Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“X﹣函数”； （Ⅱ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），利用不等式求出a的取值范围； （Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B； （2）用反证法说明（﹣∞，0）⊆B，（0，+∞）⊆A； （3）用反证法说明0∈A，即得A、B． 【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣ （说明：判断正确一个或两个函数给1分）
（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0； 因为f（x）=sinx+cosx+a， 所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a， 故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；
由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣ 又cosx∈[﹣1，1]，
所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣ （Ⅲ）（1）对任意的x≠0，
（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x）， 这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），
（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x）， 这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）； 此时，由y=f（x）的定义域为R，
故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B； （2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜
，故f（x0）＜f（
）；
（i）若∈A，则f（）=+1＜
+1=f（x0），矛盾，
（ii）若∈B，则f（）=＜0＜
+1=f（x0），矛盾；
综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；
（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A； 故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]； 经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容