2021-2022学年重庆市永川区初三数学第一学期期末试卷及解析

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1．方程x240的两个根是( ) A．x12，x22 B．x2

2．抛物线y2(x3)21的顶点坐标是( ) A．(3,1)

B．(3,1)

C．(3,1)

D．(3,1)

C．x2

D．x12，x20

3．点P(2,3)关于原点对称的点的坐标是( ) A．(2,3)

B．(2,3)

C．(2,3)

D．(3,2)

4．已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在( ) A．圆内

B．圆上

C．圆外

D．都有可能

5．将抛物线yx2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为( ) A．y(x2)23

B．y(x2)23

C．y(x2)23

D．y(x2)23

6．如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，连接BC，BD．下列结论中，不一定成立的是( )

A．AEBE

B．ADBD

C．OEDE

D．DBC90

7．如图，AB是O的直径，CD是O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，A30，给出下面3个结论：①ADCD；②BDBC；③AB2BC，其中正确结论的个数是( )

A．3

B．2

C．1

D．0

8．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为( )

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A．

1 21B．

51C．

3D．

2 39．如图，ABC中，C67，将ABC绕点A顺时针旋转后，得到△ABC，且C在边BC上，则BCB的度数为( )

A．56 B．50 C．46 D．40

10．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x26x80的解，则这个三角形的周长是( ) A．10

B．8或10

C．8

D．8和10

11．如图，在22的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使ABC为直角三角形的概率是( )

A．

1 2B．

2 5C．

3 7D．

4 712．已知二次函数yax2bxc的图象如图所示．下列结论： ①abc0； ②2ab0； ③4a2bc0； ④(ac)2b2

其中正确的个数有( )

A．1

B．2 C．3

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D．4

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上。

13．已知关于x的方程x23xm0的一个根是1，则另一个根是 ．

14．已知圆锥的底面半径是4，母线长是5，则该圆锥的侧面积是 （结果保留)． 15．O的直径为10，弦AB6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是 ．

16．如图，ABC绕点A顺时针旋转45得到△ABC，若BAC90，ABAC22，则图中阴影部分的面积等于 ．

17．现有6张正面分别标有数字1，0，1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使得关于x的一元二次方程x22xa20有实数根，且关于x的分式方程

1ax1有解的概率为 ． 2x22x18．如图，抛物线yx2bx4与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A，D，则平移后的抛物线的解析式为 ．

三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．解方程：3x26x20．

20．已知关于x的方程x2axa20． （1）若该方程的一个根为1，求a的值；

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（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

21．如图，已知AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，AOC60，OC2． （1）求OE和CD的长；

（2）求图中两阴影部分的面积各是多少？

22．某种商品每天的销售利润y（元)与销售单价x（元)之间满足关系：yax2bx75．其图象如图所示．

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

23．为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“A”表示小说类书籍，“B”表示文学类书籍，“C”表示传记类书籍，“D”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两幅不完整的统计图

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请你根据统计图提供的信息解答以下问题：

（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中表示“A”的扇形的圆心角为 度；

（3）在接受问卷调查的学生中，喜欢“C”的人中有2名是女生，喜欢“D”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率．

24．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平． （1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；

（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）

五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。

25．如图，已知BAD和BCE均为等腰直角三角形，BADBCE90，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1)，求证：M为AN的中点；

（2）将图1中的BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2)，求证：ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

26．如图1，抛物线yx2bxc与x轴交于A(2,0)，B(4,0)两点． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，

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求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）在抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．

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答案与解析

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 1．解：移项得：x24， 两边直接开平方得：x2， 则x12，x22， 故选：A．

2．解：由y2(x3)21，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)． 故选：A．

3．解：已知点P(2,3)，

则点P关于原点对称的点的坐标是(2,3)， 故选：C．

4．解：点到圆心的距离5，大于圆的半径3，

点在圆外．故选C．

5．解：将抛物线yx2向上平移3个单位再向右平移2个单位，

平移后的抛物线的解析式为：y(x2)23．

故选：B．

6．解：CD是O的直径，弦ABCD于E，

AEBE，ADBD，故A、B正确；

CD是O的直径， DBC90，故D正确．

故选：C．

7．解：如图，连接OD， CD是O的切线， CDOD， ODC90，

又A30， ABD60，

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OBD是等边三角形，

DOBABD60，AB2OB2OD2BD． CBDC30， BDBC，②成立； AB2BC，③成立； AC， DADC，①成立；

综上所述，①②③均成立， 故选：A．

8．解：因为一共有6个球，白球有4个，

所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为：故选：D． 9．解：

42． 63将ABC绕点A顺时针旋转后，得到△ABC，

ACAC，

CACC67， ACB18067113， ACCACB67，

BCBACBACB1136746． 故选：C．

10．解：方程x26x80， 分解因式得：(x2)(x4)0， 解得：x2或x4，

当x2时，三角形三边为2，2，4，不能构成三角形，舍去； 当x4时，三角形三边为2，4，4，周长为24410， 故选：A．

11．解：如图，C1，C2，C3，C4均可与点A和B组成直角三角形．

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P

4， 7

故选：D．

12．解：①根据函数图象的开口向下知，a0， 对称轴为直线xb在y轴左边， 2ab0， 2ab0，

抛物线与y轴交于正半轴， c0， abc0．

故①的结论正确；

②抛物线的对称轴在(1,0)的右边，



b1， 2ab1， 2aa0，

b2a， 2ab0，

故②的结论正确；

③由函数图象可知，当x2时，y0， 即y4a2bc0， 故③的结论正确；

④(ac)2b2(acb)(acb)0，故④的结论错误； 故选：C．

二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上。

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13．解：设另一个根为a，

关于x的方程x23xm0的一个根是1， a13，

解得：a2， 则另一个根为2． 故答案为：2．

14．解：底面圆的半径为4，

底面周长8， 侧面面积18520． 2故答案为：20．

15．解：如图：连接OA，作OMAB于M，

O的直径为10，

半径为5，

OP的最大值为5， OMAB于M，

AMBM，

AB6，

AM1AB3， 2在RtAOM中，OM52324， OM的长即为OP的最小值，

4OP5．

故答案为：4OP5．

16．解：如图，

BAC90，ABAC22， BC45，

ABC绕点A顺时针旋转45得到△ABC，

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CACBAB45，BB45，ABAB22，

AFB是等腰直角三角形，

ADBC，BFAF，AFBFABAF222，

2AB2， 2B45，EFBF，ADBD，

ADB和BEF为等腰直角三角形，

ADBD2AB2，EFBF222， 2图中阴影部分的面积SADBSBEF

1212(222)2 22424．

故答案为424．

17．解：一元二次方程x22xa20有实数根， 44(a2)0，

a3，

a1，0，1，2，3．

关于x的分式方程

21ax1的解为：x， 22ax22x且2a0且x2， 解得：a2且a1， a1，0，3，

使得关于x的一元二次方程x22xa20有实数根，且关于x的分式方程

1ax1有解的概2x22x率为：

31

， 62

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故答案为：

1． 218．解：令x0，则y4，

点A(0,4)，B(b,4)， 抛物线的对称轴为xb4，直线OB的解析式为yx， 2b抛物线的顶点C在直线OB上， y2，

顶点C的纵坐标为2，

414b2即2，

41解得b122，b222， b由图可知，0，

2b0， b22，

对称轴为直线x2，

点D的坐标为(2，0)，

设平移后的抛物线的解析式为yx2mxn， n4则， 22mn0m32解得，

n4所以yx232x4． 故答案为：yx232x4．

三、解答题（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．解：a3，b6，c2， b24ac3624600， x660， 6第12页（共18页）

x1315315，x2 3320．（1）解：将x1代入原方程，得：1aa20， 解得：a1． 2（2）证明：△a24(a2)(a2)24．

(a2)20，

(a2)240，即△0，

不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 21．解：（1）在OCE中， CEO90，EOC60， OCE30，

又OC2， 1OEOC1，

2CE413．

CDAB， CEDE．

CD2CE23．

（2）S1S扇形OACSOACS2S扇形OBCSOBC60222323．

36023120222343．

3602322．解；（1）yax2bx75图象过点(5,0)、(7,16)， 25a5b750，

49a7b7516a1解得，

b20yx220x75的顶点坐标是(10,25)

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当x10时，y最大25，

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元； （2）函数yx220x75图象的对称轴为直线x10， 可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16)， 又函数yx220x75图象开口向下，

当7x13时，y16．

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 23．解；（1）本次问卷调查，共调查的学生数：420%20名， 喜欢传记类书籍学生数为：207643人，如图

故答案为：20． （2）

7360126 20故答案为：126． （3）如图树状图

刚好选中2名有12种情况，其中一男一女的情况有6种，所以刚好选中2名是一男一女的概率为24．解：（1）设每月的增长率为x，由题意得：

61 ．

122100100(1x)100(1x)2364， 解得x0.2，或x3.2（不合题意舍去） 答：每月的增长率是20%．

（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有

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364100(120%)2(y3)640(905)y， 解得y12．

故使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．

五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 25．（1）证明：如图1， EN//AD，

MADMNE，ADMNEM．

点M为DE的中点，

DMEM．

在ADM和NEM中， MADMNEADMNEM． DMEMADMNEM． AMMN．

M为AN的中点．

（2）证明：如图2，

BAD和BCE均为等腰直角三角形， ABAD，CBCE，CBECEB45．

AD//NE，

DAENEA180． DAE90， NEA90． NEC135．

A，B，E三点在同一直线上，

ABC180CBE135． ABCNEC．

， ADMNEM（已证）ADNE．

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ADAB，

ABNE．

在ABC和NEC中， ABNEABCNEC BCECABCNEC．

ACNC，ACBNCE． ACNBCE90． ACN为等腰直角三角形．

（3）ACN仍为等腰直角三角形． 证明：如图3，延长AB交NE于点F，AD//NE，M为中点，

易得ADMNEM，

ADNE．

ADAB，

ABNE． AD//NE， AFNE，

在四边形BCEF中， BCEBFE90

FBCFEC360180180 FBCABC180 ABCFEC

在ABC和NEC中， ABNEABCNEC BCECABCNEC．

ACNC，ACBNCE． ACNBCE90．

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ACN为等腰直角三角形．

26．解：（1）将A(2,0)，B(4,0)代入得： 42bc0， 164bc0b2解得：，

c8则该抛物线的解析式为：yx22x8；

（2）如图1，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，设直线BC的解析式为： ykxd，

将点B(4,0)、C(0,8)代入得： d8， 4kd0第17页（共18页）

k2解得：，

d8故直线BC解析式为：y2x8，

直线BC与抛物线对称轴x1的交点为Q，此时QAC的周长最小． y2x8x1解方程组得，

x1y6则点Q(1,6)即为所求；

（3）如图2，过点P作PEx轴于点E，

P点(x，x22x8)(4x0)

SBPCS四边形BPCOSBOCS四边形BPCO16 若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大

S四边形BPCOSBPES直角梯形PEOC 11BEPEOE(PEOC) 2211(x4)(x22x8)(x)(x22x88) 222(x2)224，

当x2时，S四边形BPCO最大值24， SBPC最大24168，

当x2时，x22x88，

点P的坐标为(2,8)．

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