一元二次方程题型分类总结

知识梳理

一、知识结构: 解与解法一元二次方程根的判别

韦达定理考点类型一 概念

②③

（1)定义:①只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

就是一元二次方程。

(2）一般表达式：ax2bxc0(a0) ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”:

①该项系数不为“0”; ②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论. 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

112A 3x12x1 B 220

xxC ax2bxc0D x22xx21

变式：当k时，关于x的方程kx22xx23是一元二次方程.

例2、方程m2xm3mx10是关于x的一元二次方程,则m的值为。 针对练习： ★1、方程8x27的一次项系数是，常数项是。 ★2、若方程m2xm10是关于x的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程m1x2m•x1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围

是。

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=3,n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1

考点类型二 方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解. ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知2y2y3的值为2,则4y22y1的值为。

例2、关于x的一元二次方程a2x2xa240的一个根为0,则a的值为。 例3、已知关于x的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满足acb，则此方程

必有一根为。

例4、已知a,b是方程x24xm0的两个根，是方程y28y5m0的两个根， 则m的值为。 针对练习: ★1、已知方程xkx100的一根是2，则k为，另一根是。 ★2、已知关于x的方程xkx20的一个解与方程⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程xx10的一个根，则代数式mm. ★★4、已知是x3x10的根，则2a6a。 ★★5、方程abxbcxca0的一个根为( ）

222x13的解相同。 x12222A B 1 C bc D ★★★6、若2x5y30,则4•32。

xy考点类型三 解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：x2mm0,xm

※※对于xam，axmbxn等形式均适用直接开方法

222典型例题： 22例1、解方程：12x80;22516x=0； 31x90;

2

例2、若9x116x2，则x的值为。

22针对练习：下列方程无解的是（ ）

222A。x32x1 B。x20 C.2x31x D。x90

2类型二、因式分解法：xx1xx20xx1,或xx2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0\※方程形式：如axmbxn，xaxbxaxc ,

22x22axa20

典型例题： 例1、2xx35x3的根为（ ） A x

552 B x3 C x1,x23 D x 2522例2、若4xy34xy40，则4x+y的值为。 变式1：a2b2a22b260,则a2b2。

变式2：若xy2xy30，则x+y的值为。

变式3：若x2xyy14，y2xyx28，则x+y的值为。 例3、方程x2x60的解为（ )

A.x13，x22 B。x13，x22 C.x13，x23 D.x12，x22

例4、解方程:x2231x2340 例5、已知2x23xy2y20,则

xy的值为。 xyxy的值为. xy变式：已知2x23xy2y20，且x0,y0,则针对练习： ★1、下列说法中：

①方程x2pxq0的二根为，，则x2pxq(xx1)(xx2) ②x26x8(x2)(x4). ③a25ab6b2(a2)(a3) ④x2y2(xy)(xy)(xy)

⑤方程(3x1)270可变形为(3x17)(3x17)0 正确的有（ ）

A。1个 B。2个 C.3个 D。4个 ★2、以17与17为根的一元二次方程是(） A．x22x60 B．x22x60 C．y22y60 D．y22y60

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数： ★★4、若实数x、y满足xy3xy20，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

15、方程：x222的解是.

x★★★6、已知6x2xy6y20，且x0，y0,求

22x6y的值。

3xy★★★7、方程1999x19982000x10的较大根为r,方程

2007x22008x10的较小根为s，则s—r的值为。

bb24ac类型三、配方法axbxc0a0x 22a4a22※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式

的值或极值之类的问题。 典型例题: 例1、 试用配方法说明x22x3的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式x2y22x4y7的最小值.

例3、 已知x2y24x6y130，x、y为实数,求的值。

例4、 分解因式：4x212x3

针对练习： ★★1、试用配方法说明10x27x4的值恒小于0。 ★★2、已知x2111，则x40x. 2xxx★★★3、若t23x212x9，则t的最大值为，最小值为. ★★★4、如果ab

类型四、公式法 ⑴条件:a0,且b24ac0

bb24ac⑵公式：x，a0,且b24ac0

2ac114a22b14,那么a2b3c的值为.

典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：

⑴31x6.⑵x3x68.⑶x24x10

2

⑷3x24x10⑸3x13x1x12x5

例2、在实数范围内分解因式:

（1）x222x3； （2）4x28x1. ⑶2x24xy5y2

说明：①对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc=0，求出两根，再写成

ax2bxc=a(xx1)(xx2)。

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内,取决于能否把括号内的分母化去。

类型五、 “降次思想\"的应用 ⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。 典型例题: 例1、 已知x

23x1x213x20，求代数式的值。

x1例2、如果x2x10，那么代数式x32x27的值。

a32a25a1例3、已知是一元二次方程x3x10的一根,求的值.

a212

例4、用两种不同的方法解方程组

2xy6,22x5xy6y0.(1)(2)

说明:解二元二次方程组的具体思维方法有两种:①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题。

考点类型四 根的判别式b2—4ac

根的判别式的作用: ①定根的个数；

②求待定系数的值； ③应用于其它。 典型例题： 例1、若关于的方程x22kx10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。 例2、关于x的方程m1x22mxm0有实数根，则m的取值范围是( ） A.m0且m1 B。m0 C。m1 D。m1 例3、已知关于x的方程x2k2x2k0

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式9x2(m6)xm2是一个完全平方式，试求的值。

x22y26,例5、为何值时,方程组有两个不同的实数解?有两个相同的实数

mxy3.解？

针对练习： ★1、当k时，关于x的二次三项式x2kx9是完全平方式。

★2、当取何值时，多项式3x24x2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

★3、已知方程mx2mx20有两个不相等的实数根，则m的值是.

ykx2,★★4、为何值时，方程组2

y4x2y10.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2）有两组不相等的实数解; (3）没有实数解.

★ ★★5、当取何值时，方程x24mx4x3m22m4k0的根与均为有理数？

考点类型五 方程类问题中的“分类讨论”

典型例题： 例1、关于x的方程m1x22mx30 ⑴有两个实数根,则m为, ⑵只有一个根，则m为。

例2、 不解方程,判断关于x的方程x22xkk23根的情况。

例3、如果关于x的方程x2kx20及方程x2x2k0均有实数根,问这两方程

是否有相同的根?若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由.

考点类型六 应用解答题

⑴“碰面\"问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题; ⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题： 1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放

市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少

1，第三年比第二年减少31，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，21还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？(结果精确到0。1，

3133.61）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： （1)当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元， 销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度;若不 能,请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A、B两地间的路程为36千米。甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地,求两人的速度。

考点类型七 根与系数的关系

⑴前提：对于ax2bxc0而言，当满足①a0、②0时， 才能用韦达定理。

bc⑵主要内容：x1x2,x1x2

aa⑶应用:整体代入求值. 典型例题: 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x28x70的两根，则这个直角三

角形的斜边是（ ）

A. B。3 C。6 D.

例2、已知关于x的方程k2x22k1x10有两个不相等的实数根x1,x2， （1）求k的取值范围;

（2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值;若不

存在,请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业,在解一道一元二次方程(二次项系数为1）时，小明因看错

常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数,而得到解为-9和—1。你知道

原来的方程是什么吗?其正确解应该是多少？

例4、已知ab，a22a10，b22b10，求ab 变式：若a22a10,b22b10,则

ab的值为。 ba例5、已知,是方程x2x10的两个根，那么43. 针对练习： xy3,(1)1、解方程组2 2xy5(2)2．已知a27a4，b27b4(ab)，求

ba的值。 ab323、已知x1,x2是方程x2x90的两实数根，求x17x23x266的值.

4、已知关于X的方程x22m2xm20,问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由。