中职教案

课题 §6.1.1数列的概念与简单表示法

●教学目标

知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点

数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

三角形数：1，3，6，10，„ 正方形数：1，4，9，16，25，„ Ⅱ.讲授新课

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„.

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“

1”是这个数3列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

1111项 1

2345↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：an1来表示其对应关系 n即：只要依次用1，2，3„代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

⒋ 数列的通项公式：如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

1

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，„它的通项公式可以是

n11(1)n1|. an，也可以是an|cos22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，„，n}）为定义域的函数anf(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4„）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)„，f(n)，„ 6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6„是无穷数列 2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 观察：课本k中的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？ [范例讲解]课本例1

Ⅲ.课堂练习课本[练习]3、4、5

[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,„„； (2)

*

246810, , , , , „„； 315356399 (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,„„； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, „„；

1(1)n2n 解：(1) an＝2n＋1； (2) an＝； (3) an＝；

2(2n1)(2n1)(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, „„,

1(1)n∴an＝n＋；

2Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业

课本P33习题2.1A组的第1题

题: §6.1.2数列的概念与简单表示法

●教学目标

2

知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与an的关系

过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点

理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入] 数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 1、 通项公式法

如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列

的通项公式为 的通项公式为

；

；

的通项公式为 ；

2、 图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项

为纵坐标，

即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的

轴的右侧，而点的

图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在

个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题． 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：14＝1+3 第2层钢管数为5；即：25＝2+3 第3层钢管数为6；即：36＝3+3 第4层钢管数为7；即：47＝4+3 第5层钢管数为8；即：58＝5+3 第6层钢管数为9；即：69＝6+3

3

第7层钢管数为10；即：710＝7+3

若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且ann3(1≤n≤7） 运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即a14；a2541a11；a3651a21 依此类推：anan11（2≤n≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：

递推公式：如果已知数列an的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an1（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55， 递推公式为：a13,a25,anan1an2(3n8)

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 项，„„，用 4、列表法

．简记为

．

表示第一项，用

表示第一

表示第

项，依次写出成为

[范例讲解]

a11例3 设数列an满足写出这个数列的前五项。 1a1(n1).nan1解：分析：题中已给出an的第1项即a11，递推公式：an11 an1解：据题意可知：a11,a21[补充例题]

112158,a5 2,a31，a41a335a1a23例4已知a12，an12an 写出前5项，并猜想an．

23n法一：a12 a2222 a3222，观察可得 an2

2 4

法二：由an12an ∴an2an1 即

an2 an1 ∴

anan1an2a22n1 an1an2an3a1 ∴ ana12n12n

Ⅲ.课堂练习

课本练习2 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1．递推公式及其用法；

2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.

Ⅴ.课后作业 习题6。1A组

课题: §6.2.1等差数列

●教学目标

知识与技能：了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项

过程与方法：经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。

情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。 ●教学重点

等差数列的概念，等差数列的通项公式。 ●教学难点 等差数列的性质 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。 课本P41页的4个例子： ①0，5，10，15，20，25，„ ②48，53，58，63

③18，15.5，13，10.5，8，5.5

④10072，10144，10216，10288，10366

观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？

·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 Ⅱ.讲授新课

5

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。

⑴．公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{an},若an－an1=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n↔N，则此数列是等差数列，d 为公差。

思考：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？ 2．等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列an的首项是a1，公差是d，则据其

定义可得：

a2a1d即：a2a1d

a3a2d即：a3a2da12d a4a3d即：a4a3da13d

„„

由此归纳等差数列的通项公式可得：ana1(n1)d

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d，便可求得其通项an。 由上述关系还可得：ama1(m1)d 即：a1am(m1)d

则：ana1(n1)d=am(m1)d(n1)dam(nm)d 即等差数列的第二通项公式 anam(nm)d ∴ d=[范例讲解]

例1 ⑴求等差数列8，5，2„的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13„的项？如果是，是第几项？

解：⑴由a18,d58253 n=20，得a208(201)(3)49 ⑵由a15,d9(5)4 得数列通项公式为：an54(n1)

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得40154(n1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{an}的通项公式anpnq，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

aman

mn 6

分析：由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列，只要看anan1（n≥2）是不是一个与n无关的常数。

解：当n≥2时, （取数列an中的任意相邻两项an1与an（n≥2））

anan1(pnq)[p(n1)q]pnq(pnpq)p为常数

∴{an}是等差数列，首项a1pq，公差为p。

注：①若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…

②若p≠0, 则{an}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象

上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.

③数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。 Ⅲ.课堂练习

课本练习1、2、3、4 [补充练习]

1.（1）求等差数列3，7，11，„„的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知：a1=3,d=7－3=4.∴该数列的通项公式为：an=3+（n－1）×4,即an=4n－1（n≥1,n↔N*）∴a4=4×4－1=15, a10=4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，„„的第20项. 解：根据题意可知：a1=10,d=8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：an=10+（n－1）×（－2）,即：an=－2n+12,∴a20=－2×20+12=－28. 评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得an等于这一数.

解：根据题意可得：a1=2,d=9－2=7. ∴此数列通项公式为：an=2+（n－1）×7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是这个数列的第15项.

1，－7，„„的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 2177解：由题意可知：a1=0,d=－3 ∴此数列的通项公式为：an=－n+,

222777747令－n+=－20,解得n= 因为－n+=－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项.

22227（4）－20是不是等差数列0，－3

7

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：an－an1=d ，（n≥2，n↔N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：ana1(n1)d，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：anam(nm)d和an=pn+q (p、q是常数)的理解与应用. Ⅴ.课后作业

课本P40习题2.2[A组]的第1题

课题: §6.2.2等差数列

●教学目标

知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。

过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。

情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－

（n≥2，n↔N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”an1=d ，

表示）

2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d (anam(nm)d或an=pn+q (p、q是常数))

3．有几种方法可以计算公差d ① d=an－an1 ② d=

ana1aam ③ d=n n1nmⅡ.讲授新课

问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A-a=b-A ，即：Aab 2 8

ab，则A-a=b-A 2aba,b,成等差数列 由此可可得：A2反之，若A [补充例题]

例 在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手„„ 解：∵ {an }是等差数列

∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9－a4=9－7=2

∴ d=a4－a3=7－2=5

∴ a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32 [范例讲解]

课本例2 解略 课本练习2

∴ a3 =2, a9=32

结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq 即 m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ↔N )

但通常 ①由amanapaq 推不出m+n=p+q ，②amanamn 探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习

1.在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d 2. 在等差数列an中, 若 a56 a815 求a14 Ⅳ.课时小结

节课学习了以下内容： 1．Aaba,A,b,成等差数列 22．在等差数列中， m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ↔N ) Ⅴ.课后作业

课本P41第4、5题

9

课题: §6.2.3 等差数列的前n项和

●教学目标

知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题

过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.

情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。 ●教学重点

等差数列n项和公式的理解、推导及应 ●教学难点

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 “小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+„+100=5050。 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；„50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些

规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 Ⅱ.讲授新课

1．等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an) 2证明： Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan) ∵a1ana2an1a3an2 ∴2Snn(a1an) 由此得：Snn(a1an) 2 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 10

2． 等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d 2 用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an 但ana1(n1)d 代入公式1即得： Snna1n(n1)d 2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d （有时比较有用） [范例讲解]

课本例1、例2、例3 Ⅲ.课堂练习

课本练习1、2、3、4 Ⅳ.课时小结

本节课学习了以下内容：

1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an) 2n(n1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1Ⅴ.课后作业 练习册

课题: §2.3等差数列的前

n项和

●教学目标

知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究

的最值；

过程与方法：经历公式应用的过程；

情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点

熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点

灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n项和公式1：Snn(a1an) 2n(n1)d 22.等差数列的前n项和公式2：Snna1Ⅱ.讲授新课

探究：——课本P51的探究活动

2结论：一般地，如果一个数列an,的前n项和为Snpnqnr，其中p、q、r为常数，且p0，

11

那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由Snpn2qnr，得S1a1pqr

当n2时anSnSn1=(pn2qnr)[p(n1)2q(n1)r]=2pn(pq)

danan1[2pn(pq)][2p(n1)(pq)]=2p

对等差数列的前n项和公式2：Snna1n(n1)d可化成式子： 2Snd2dn(a1)n，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 22[范例讲解]

等差数列前项和的最值问题 例4 解略 小结：

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用an:

当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an1≤0，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an1≥0，求得n的值 （2） 利用Sn： 由Snd2dn(a1)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 22Ⅲ.课堂练习

1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值。 Ⅳ.课时小结

1．前n项和为Snpn2qnr，其中p、q、r为常数，且p0，一定是等差数列，该数列的 首项是a1pqr 公差是d=2p 通项公式是anS1a1pqr,当n1时

SnSn12pn(pq),当n2时2．差数列前项和的最值问题有两种方法:

（1）当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an1≤0，求得n的值。

当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an1≥0，求得n的值。

（2）由Snd2dn(a1)n利用二次函数配方法求得最值时n的值 22 12

Ⅴ.课后作业 练习册

课题: §6.4.1等比数列

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；

过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点

等比数列的定义及通项公式 ●教学难点

灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

复习：等差数列的定义： an－an1=d ，（n≥2，n↔N）

等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，„ ②1，

1111，，，，„ 24816234③1，20，20，20，20，„

④100001.0198，100001.0198，100001.0198，100001.0198，100001.0198，„„ 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课

1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：≠0）

1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)

13

2345an=q（qan1｛an｝成等比数列an1=q（nN,q≠0） an2 隐含：任一项an0且q0

“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 3 q= 1时，{an}为常数。

2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1q0) 由等比数列的定义，有：

a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2； a4a3q(a1q2)qa1q3；

„ „ „ „ „ „ „

anan1qa1qn1(a1q0) 3.等比数列的通项公式2: anamqm1(a1q0) 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 等比数列与指数函数的关系：

等比数列｛an｝的通项公式ana1qn1(a1q0),它的图象是分布在曲线y一些孤立的点。

当a10，q >1时，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1，等比数列｛an｝是递增数列； 当a10，0q1时，等比数列｛an｝是递减数列； 当a10，q >1时，等比数列｛an｝是递减数列；

当q0时，等比数列｛an｝是摆动数列；当q1时，等比数列｛an｝是常数列。 [范例讲解]

课本例1、例2、P58例3 解略。 Ⅲ.课堂练习 课本练习1、2 [补充练习]

2.（1） 一个等比数列的第9项是

a1xq（q>0）上的q41，公比是－，求它的第1项（答案：a1=2916） 93 14

（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：a1=Ⅳ.课时小结

本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式． Ⅴ.课后作业:练习册

课题: §6.4.2等比数列

a2=5, a4=a3q=40） q●教学目标

知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法

过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点

等比中项的理解与应用 ●教学难点

灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下上一节课所学主要内容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：

an=q（q≠0） an12.等比数列的通项公式: ana1qn1(a1q0)， anamqnm(amq0) 3．｛an｝成等比数列分条件

4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列 Ⅱ.讲授新课

1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±ab（a,b同号）

如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则反之，若G=ab,则[范例讲解] 例4

拓展探究：

对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{

2an1=q（nN,q≠0） “an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充anGbG2abGab， aGGb2，即a,G,b成等比数列。∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0） aGan}也一定是等比数列吗？ bn 15

探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cnana，则cn1n1 bnbn1cn1bn1abaq(n1)(n1)1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

ancnanbnq2bnbnan1课本练习2

22已知数列{an}是等比数列，（1）a5a3a7是否成立？a5a1a9成立吗？为什么？

2（2）anan1an1(n1)是否成立？你据此能得到什么结论？

2anankank(nk0)是否成立？你又能得到什么结论？

结论：2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则amanapak 在等比数列中，m+n=p+q，am,an,ap,ak有什么关系呢？ 由定义得：ama1qm1 ana1qn1 apa1q2p1k1 a k a1qamana1qmn2 ，apaka1qpk2则amanapak

Ⅲ.课堂练习

课本的练习3 Ⅳ.课时小结

1、若m+n=p+q，amanapaq

2、若an,bn是项数相同的等比数列，则anbn、{Ⅴ.课后作业 练习册

课题: §6.3.4等比数列的前

2an}也是等比数列 bnn项和

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。 ●教学重点

等比数列的前n项和公式推导 ●教学难点

16

灵活应用公式解决有关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境]

[提出问题]“国王对国际象棋的发明者的奖励” Ⅱ.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。 1、 等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn) 当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②.

公式的推导方法一：

一般地，设等比数列a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

由Sna1a2a3anana1qn1

2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q得 23n1nqSna1qa1qa1qa1qa1q(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)∴当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

有等比数列的定义，

aa2a3nq a1a2an1a2a3anSa1nq

a1a2an1Snan根据等比的性质，有

即

Sna1q(1q)Sna1anq（结论同上）

Snan围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

17

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1) ＝a1qSn1＝a1q(Snan)

(1q)Sna1anq（结论同上）

[解决问题]

有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。 由a11,q2,n可得

a1(1qn)1(12)==21。 Sn121q21这个数很大，超过了1.841019。国王不能实现他的诺言。

[例题讲解]

课本例1、例2 例3解略 Ⅲ.课堂练习 练习1、2、3 Ⅳ.课时小结

a1anqa1(1qn)等比数列求和公式：当q=1时，Snna1 当q1时，Sn 或Sn

1q1qⅤ.课后作业

练习册

课题: §6.3.5等比数列的前

●教学目标

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.

情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.

●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式 ●教学难点

灵活使用公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容： 等比数列的前n项和公式：

n项和

aanqa1(1qn)当q1时，Sn ① 或Sn1 ②

1q1q 18

当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式② Ⅱ.讲授新课

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，

2求证：S2nS2nSn(S2nS3n)

2、设a为常数，求数列a，2a，3a，„，na，„的前n项和； （1）a=0时，Sn=0

（2）a≠0时，若a=1，则Sn=1+2+3+„+n=

n-1

n

23n

1n(n1) 2若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+„+a-na），Sn=Ⅲ.课堂练习 课本习题A组 Ⅳ.课时小结

Ⅴ.课后作业 练习册

a[1(n1)annan1] 2(1a)

19

平面向量

§7.1 平面向量的实际背景及基本概念

教学目标： 1. 2. 3.

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单

位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：

一、情景设置：

如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问： 猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.

分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有长短的量.

引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片） 1、数量与向量有何区别？ 2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？ （三）探究学习

1、数量与向量的区别：

20

有方向、小没有方

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：④向量

；

的大小――长度称为向量的模，记作||.

3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是了大小. 5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ａ∥ｂ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. ．．．．．．．．．．7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. ．．．．．．．．．．．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平

行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. （四）理解和巩固：

21

ｃ平行，记作

例1判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定） （2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定） （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量） （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量） （6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同） （7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定） 例3下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向、

相等的向量.

量

、

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）

变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量

与

是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

）

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等； ④四边形ABCD是平行四边形当且仅当⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

22

＝

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定. ③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量④、⑤正确.⑥不正确.如图三、小结 ：

1、 描述向量的两个指标：模和方向.

2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点. 四、课后作业： 练习册7.1.1A

与

共线，虽起点不同，但其终

、在同

是相等的. 点却相同.

§7.2.1 向量的加法运算及其几何意义

教学目标：

1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；

2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用

它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：

数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：

1、 复习：向量的定义以及有关概念

强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置：

23

（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：

（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：

（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：（4）船速为

，水速为

，则两速度和：

二、探索研究：

１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）

24

如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点记作a＋ｂ，即 a＋ｂ

，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，

，规定： a + 0-= 0 + a

探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；

（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加

３．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点，作４．加法的交换律和平行四边形法则

问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）

２）向量加法的交换律：+=+ ５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 证：如图：使则(+) +=

∴(+) +=+ (+)

，

，

，则

.

，+ (+) =

25

从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 四、小结

1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、备用习题

1、一艘船从A点出发以

，求水流的速度.

的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为

2、一艘船距对岸为8km，求河水的流速. 3、一艘船从A点出发以速度的大小为

，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程

的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为

，求

和

.

，船的实际航行的

，方向与水流间的夹角是

4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是

km/h

５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.

６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

§7.2.2 向量的减法运算及其几何意义

教学目标： 1. 2. 3.

了解相反向量的概念；

掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转

化的辩证思想.

教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定.

学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.

26

教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路：

一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律：

例：在四边形中，解：

二、 提出课题：向量的减法

1． 用“相反向量”定义向量的减法

（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a  b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：

.

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a  b

3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

作法：在平面内取一点O， 作 则

= a， = a  b

= b

即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1

表示a  b.强调：差向量“箭头”指向被减数

27

2用“相反向量”定义法作差向量，a  b = a + (b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.

4． 探究：

１）如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b  a. ２）若a∥b， 如何作出a  b ？ 三、 例题：

例一、已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd. 解：在平面上取一点O，作

= a，

= b，

= c，

= d，

作

，

， 则

= ab，

= cd

例二、平行四边形

28

中，a，b，

用a、b表示向量、.

解：由平行四边形法则得：

= a + b，

=

= ab

变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直） 变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）

四、 小结：向量减法的定义、作图法| 五、 作业：、练习册 六、 板书设计（略） 七、 备用习题： 1.在△ABC中，

=a，

=b，则

等于( )

A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设

=a，

=b，

=c，

=d，则A.a+b+c+d=0

B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：

a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .

４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=

，c-d=

，并画出b-c和a+d.

7.3平面向量的基本定理及坐标表示

§7.3.1 平面向量基本定理

教学目的：

（1）了解平面向量基本定理；

（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

29

（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.

教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、

复习引入：

1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

2．运算定律

结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ3. 向量共线定理 向量二、讲解新课：

平面向量基本定理：如果有且只有一对实数λ1，λ2使探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，三、讲解范例： 例1 已知向量

，

求作向量2.5

+3

.

=，

=

，用，表示

，

，

，

唯一确定的数量

，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，=λ

1

+μ， λ(+)=λ+λ

=λ

.

与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使

+λ

2

.

例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且和

30

例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，

+

例4（1）如图， （2）设

，

不共线，

=t

(tR)用

，

表示A、B

.

+

+

=4

O是任意一点，求证：

不共线，点P在O、

.求证：

所在的平面内，且

A、B、P三点共线.

例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数

与c共线.

四、课堂练习： 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、课后记：

§7.3.2—§7.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果有且只有一对实数λ1，λ2使

31

，=λ

1

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，+λ

2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、位向量、

作为基底.任作一个向量

，使得 „„„„1

我们把

叫做向量的（直角）坐标，记作

„„„„2

其中叫做在

轴上的坐标，

叫做在

轴上的坐标，2.

式叫做向

轴方向相同

的两个单知，有且只

，

唯一确定的数量

，由平面向量基本定理

有一对实数、

量的坐标表示.与坐标也为．相等的向量的．．．．．．．．．．特别地，

，

，

.

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作由设

唯一确定.

，则向量

的坐标

就是点

，则点的位置

的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的

坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若

，

，

，则

和与差.

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的设基底为、即

32

，则

，同理可得

（2） 若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

=（3）若



=( x2， y2)  (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1) 和实数

，则

.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为、

，则

，即

三、讲解范例：

例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求例2 已知=(2，1)，

的坐标.

，-，3

+4的坐标.

=(-3，4)，求+

例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.

解：当平行四边形为ABCD时，由

得D1=(2， 2)

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0) 例4已知三个力解：由题设

+

(3， 4)， +

=

(2， 5)，

(x， y)的合力

+

+

=，求

的坐标.

得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)

即：

四、课堂练习：

∴ ∴(5，1)

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标

2

= .

2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

33

§7.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．平面向量的坐标表示

分别取与轴、

轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理

，使得

轴上的坐标， 特别地，

，

，

.

知，有且只有一对实数、把

叫做向量的（直角）坐标，记作

轴上的坐标，

叫做在

其中叫做在

2．平面向量的坐标运算

若则

，

， ，

，

.

若，，则

二、讲解新课：

∥设

(

)的充要条件是x1y2-x2y1=0

=(x2， y2) 其中

.

=(x1， y1) ，

由=λ

得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0

 ∴x2， y2中至少有一个不为0

探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵

34

（2）充要条件不能写成

∵x1， x2有可能为0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥三、讲解范例： 例1已知=(4，2)，

=(6， y)，且∥

()

，求y.

例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系. 例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).

(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标； (2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标. 例4若向量=(-1，x)与解：∵=(-1，x)与 ∴x=±

=(-x， 2)共线且方向相同，求x =(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x•(-x)=0

方向相同 ∴x=

与

平行吗？直线AB与平行于直线

∵与

例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量

CD吗？ 解：∵

=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ，

∥

=(2-1，7-5)=(1，2)

又 ∵2×2-4×1=0 ∴ 又 ∵

=(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行

∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD 四、课堂练习： 五、小结 （略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

35

§7.4平面向量的数量积

一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程： 一、复习引入： 1． 向量共线定理 向量

与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使

=λ

.

2．平面向量基本定理：如果有且只有一对实数λ1，λ2使3．平面向量的坐标表示

，=λ

1

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，+λ

2

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、把

，使得

叫做向量的（直角）坐标，记作

4．平面向量的坐标运算 若

，

，则

，

，

.

若5．∥

(

，，则

)的充要条件是x1y2-x2y1=0

36

10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角. 二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作

＝ａ，

＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc 如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc 但a  c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3．“投影”的概念：作图

a = c

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

37

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|. 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos 2 ab  ab = 0

3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或

4 cos =5 |ab| ≤ |a||b| 三、讲解范例：

例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).

例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－

＝

；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零

ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ２２

（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ.

解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；

对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.

则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

38

∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9

评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、教学后记：

二、平面向量数量积的运算律

教学目的：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；

3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.  教学过程： 一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作

＝ａ，

＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．“投影”的概念：作图

39

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|. 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0

3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或

4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|

二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)

证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若

< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =

|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos. 3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作

= a，

= b，

= c， ∵a + b （即

）在c方向上的投影等于a、b

在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc 说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

２

２

（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，

40

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ

三、讲解范例：

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角. 解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0 ① (a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0 ② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2

２

２

２

设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60

例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和. 解：如图：平行四边形ABCD中，

|2==|2=|2+ |

，，=

∴|而

，

∴|∴|

|2= 2

=

＝ａ，

＝ｂ，

＝с，

＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四

例3 四边形ABCD中，边形ABCD是什么图形?

分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD是矩形，这是因为：

一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ） 即｜ａ｜＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с·ｄ＋｜ｄ｜ 由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜① 同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②

由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形

另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.

综上所述，四边形ABCD是矩形.

２

２

２

２

２

２

２

２

２

２

２

２

２

２

41

评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋

ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：

1.下列叙述不正确的是（ ）

A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数

2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ） A.72 B.-72 C.36 D.-36

3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）

A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直

4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２

＝ . 5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= . 6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ . 五、小结（略） 六、课后作业（略） 七、板书设计（略） 八、课后记：

三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示

教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

42

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积. 4．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1 ea = ae =|a|cos； 2 ab  ab = 0

3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或

4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|

5．平面向量数量积的运算律 交换律：a  b = b  a

数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 分配律：(a + b)c = ac + bc 二、讲解新课：

⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量

，

，试用

和的坐标表示

，

，

，

，所以

.

设是轴上的单位向量，是所以又

轴上的单位向量，那么

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2. 平面内两点间的距离公式 八、 设

，则

或

.

43

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为

(平面内两点间的距离公式)

、，那么

九、 向量垂直的判定 设

，

，则

）

十、 两向量夹角的余弦（

cos =

例1设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)

例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x. 解：设x = (t， s)，

由

例4 已知a＝（１，

），b＝（

＋１，

∴x = (2， 3)

－１），则a与b的夹角是多少?

分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a＝（１，有a·b＝

＋１＋

），b＝（（

＋１，

－１）

．

－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２

记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝

又∵０≤θ≤π，∴θ＝

评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.

例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量解：设B点坐标(x， y)，则∵又∵|

44

的坐标.

= (x， y)，= (x5， y2)

| = |

∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x  2y = 0 | ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29

由

∴B点坐标例6 在△ABC中，

求k值.

或；=(2， 3)，

=或

=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，

解：当A = 90时，

当B = 90时，



= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k == 0，

=



= (12， k3) = (1， k3)

∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =

当C = 90时，十一、 十二、 十三、 十四、

45

= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =

小结（略） 课后作业（略） 板书设计（略） 课后记：

空间立体几何

9.1.1 空间几何体的直观图 一、教学目标

1．知识与技能

（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2．过程与方法

学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3．情感态度与价值观

（1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对比在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点

重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具

1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2．教学用具：三角板、圆规 四、教学思路

（一）创设情景，揭示课题

1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。

2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。

（二）研探新知

1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。

画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。

练习反馈

根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生完成后，教师检查。 2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图

教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。

教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。 3．探求空间几何体的直观图的画法

46

（1）例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图。 教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。 （2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。

4．平行投影与中心投影

投影出示课本P17图1.2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形的各自特点。

5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4 三、归纳整理

学生回顾斜二测画法的关键与步骤 四、作业

1．书画作业，课本P17 练习第5题 2．课外思考 课本P16，探究（1）（2）

47

9.1.2柱体、锥体、台体的表面积与体积

一、教学目标

1、知识与技能

（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。

（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法

（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

二、教学重点、难点

重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想

1、创设情境

（1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。

（2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。

2、探究新知

（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维

（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:

r为上底半径 r为下底半径 l为母线长

（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

1

49

（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：

（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。

(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高) 4、例题分析讲解

（课本）例1、 例2、 例3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。

（答案：）

2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的

3

体积。 （答案：2325cm）

6、课堂小结

本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三者之间的关系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

7、评价设计

习题1.3 A组1.3

50

§9.1.3球的体积和表面积

一. 教学目标

１． 知识与技能

通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分 割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。 能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 ２． 过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝πR和面积公式Ｓ＝４πR的

32

方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。 ３． 情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。 二. 教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。 难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。 三. 学法和教学用具

１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、

再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。

２． 教学用具：投影仪 四. 教学设计

（一） 创设情景

教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。 （二） 探究新知

球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因—化为准确和”的方法来进行。 步骤： 第一步：分割

如图：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半

此求球的体积可以按“分割——求和—

球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为如图：

，底面是“小圆片”的底面。

51

得

第二步：求和

第三步：化为准确的和 当n→∞时，

→0 （同学们讨论得出）

所以

得到定理：半径是Ｒ的球的体积

．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？

2

半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 。 典例分析

（三） 巩固深化、反馈矫正

。正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比为 。

（答案：

； 3 ：1）

2

2

。在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积。

2

（答案：2500πcm）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性 质求球的半径

（四） 课堂小结

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。 （五） 评价设计

52

§9.2.1 平面

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）利用生活中的实物对平面进行描述； （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图； （3）掌握平面的基本性质及作用； （4）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法

（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点：平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板 四、教学思想

（一）实物引入、揭示课题

师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。 师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。 （二）研探新知 1、平面含义

师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示

师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）

之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平

放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。

0

53

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚

线或不画（打出投影片）

3、平面的基本性质

师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出以下公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A↔L

B↔L => L α

A↔α B↔α

公理1作用：判断直线是否在平面内

师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等„„ 引导学生归纳出公理2

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A↔α、B↔α、C↔α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P↔α∩β =>α∩β=L，且P↔L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

4、教材例1

通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习：练习1、2、3、4

6、课时小结：（师生互动，共同归纳）

（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？ 7、作业布置

（1）复习本节课内容；

（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？

55

§9.2.2 空间中直线与直线之间的位置关系

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理。 难点：异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想

（一）创设情景、导入课题

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：

57

2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这

两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 （2）例2（投影片）

例2的讲解让学生掌握了公理4的运用

（3）让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。 3、组织学生思考教材P47的思考题

（投影）

让学生观察、思考：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

0

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

58

（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ↔(0， )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 （3）例3（投影）

例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。 （三）课堂练习 教材P49 练习1、2

充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。 （四）课堂小结

在师生互动中让学生了解：

（1）本节课学习了哪些知识内容？

（2）计算异面直线所成的角应注意什么？ （五）课后作业 1、判断题：

（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ） （1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ） 2、填空题：

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

59

§9.192.3 — 9.2.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法

（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点

重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想

（一）创设情景、导入课题

教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）

（二）研探新知

1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

例4（投影） 师生共同完成例4

例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。

2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点

（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线

用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为

61

α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。 教材P51 探究

让学生思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解 教材P51 练习

学生完成后教师检查、指导 （三）归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。 （四）作业

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。 2、教材P52 习题2.1 A组第5题

62

§9.3.1 直线与平面平行的判定

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力； 2、过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。 3、情感、态度与价值观

（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性； （2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。 二、教学重点、难点

重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。 三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。 2、教学用具：投影仪（片） 四、教学思想

（一）创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。 （二）研探新知

1、投影问题

直线a与平面α平行吗？

若α内有直线b与a平行， 那么α与a的位置关系如何？

是否可以保证直线a与平面α平行？

学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

63

简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2、例1 引导学生思考后，师生共同完成

该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。 （三）自主学习、发展思维 练习：教材第57页 1、2题

让学生完成，教师检查、指导、讲评。 （四）归纳整理

1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？

2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。 （五）作业

1、预习：如何判定两个平面平行？

§9.3.2 平面与平面平行的判定

一、教学目标： 1、知识与技能

理解并掌握两平面平行的判定定理。 2、过程与方法

让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。 3、情感、态度与价值观

进一步培养学生空间问题平面化的思想。 二、教学重点、难点

重点：两个平面平行的判定。 难点：判定定理、例题的证明。 三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想

（一）创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。 （二）研探新知 1、问题：

（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？ （2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？ 通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β b β

a∩b = P β∥α a∥α b∥α

教师指出：判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

65

2、例2 引导学生思考后，教师讲授。

例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。 （三）自主学习、加深认识

练习：教材第59页1、2、3题。 学生先完成后，教师指导讲评。 （四）归纳整理、整体认识

1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？

2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。 （五）作业布置

第65页习题2.2 A组第7题。

66

§9.3.3 — 9.3.4直线与平面、平面与平面平行的性质

一、教学目标： 1、知识与技能

（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用； （2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。 2、过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。 3、情感、态度与价值观

（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力； （2）进一步体会类比的作用； （3）进一步渗透等价转化的思想。 二、教学重点、难点 重点：两个性质定理 。

难点：（1）性质定理的证明；

（2）性质定理的正确运用。 三、学法与教学用具

1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想

（一）创设情景、引入新课 1、 学生思考、交流，得出

（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；

（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。

在教师的启发下，师生共同完成 该结论的证明过程。

于是，得到直线与平面平行的性质定理。

定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？ 学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。 再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？ 在教师的启发下，师生共同完成该结论及证明过程，

67

于是得到两个平面平行的性质定理。

定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、例5

以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。 （三）自主学习、巩固知识 学生完成，教师进行纠正。 （四）归纳整理、整体认识

1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？ 2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？ （五）布置作业

68

§9.4.1直线与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 2、过程与方法

（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程； （2）探究判定直线与平面垂直的方法。 3、情态与价值

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。 二、教学重点、难点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 （二）研探新知

1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

69

L

p

α

图2-3-1

2、老师提出问题，让学生思考：

（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？

A

B D C

图2.3-2

（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

（三）实际应用,巩固深化 （1）课本P例1教学 （2）课本例2教学 （四）归纳小结，课后思考

70

小结：采用师生对话形式，完成下列问题：

①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定 定理，体现的教学思想方法是什么？ 课后作业: ①练习册

②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。

思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？

71

§9.4.2平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知 1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

73

角 二面角 A A 图形 边 β 顶点 O 边 B 从平面内一点出发的两条射线（半定义 直线）所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， 获得两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

（三）应用举例，强化所学 α 例题：课本例3

做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。

（四）运用反馈，深化巩固 问题：课本P.73的探究问题

做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。

74

梭 l B α 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 半平面 一 线（棱）一 半平面 二面角α-l-β或α-AB-β 射线 — 点（顶点）一 射线 ∠AOB （五）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？ （六）课后巩固，拓展思维

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。 2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

75

§9、4.3直线与平面垂直的性质 §9、4.4平面与平面垂直的性质

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； （2）能运用性质定理解决一些简单问题；

（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。 2、过程与方法

（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识； （2）性质定理的推理论证。 3、情态与价值

通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。 二、教学重点、难点

两个性质定理的证明。 三、学法与用具

（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

（2）用具：长方体模型。 四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。（自然进入课题内容）

（二）研探新知 1、操作确认

1111

观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—ABCD中，棱1111

AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？

77

2、推理证明

引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，

然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：

垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固

例子：课本P.74例4

做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。 （四）类比拓展，研探新知

类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？

引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 （五）巩固深化、发展思维

思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？

（答：直线a必在平面α内）

思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么位置关

系？

（六）归纳小结,课后巩固

小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？ （2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直； （2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

78

79