河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试数学试题

数学试题

2020．9

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合A＝xx4x30，B＝xZ1x5，则A

2B＝

A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3} 2．若复数z1i，则

z＝ 1z A．1 B．2 C．22 D．4

3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为

A．19 B．38 C．55 D．65

4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A．505 B．673 C．674 D．1010 5．已知非零向量a，b满足ab，且ab2ab，则a与b的夹角为

A．

2 B． C． D． 32366．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p，且检测次数的数学期望为20，则p的值为

1111121120121120 A．1() B．1() C．1() D．1()

202121207．已知未成年男性的体重G（单位：kg）与身高x（单位：cm）的关系可用指数模型Gaebx来描述，根据大数据统计计算得到a＝2.004，b＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110cm，

体重为17.5kg．预测当他体重为35kg时，身高约为(ln2≈0.69)

A．155cm B．150cm C．145cm D．135cm

8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，点N在侧面ADD1A1内，若BM⊥A1N．则△ABN面积的最小值为

1

A．

525 B． C．1 D．5 55二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项

中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知cos(5)33)＝ ，则sin(255 A．24122412 B． C． D． 2525252510．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于A(x1，y1)，B(x2，

y2)两点，则下列说法定正确的是

A．AB的最小值为2 B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 C．x1x2为定值 D．若M(﹣1，0)，则∠AMF＝∠BMF 11．已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x＝1对称，则

A．f(x4)f(x) B．f(x)在区间(﹣2，0)上单调递增 C．f(x)有最大值 D．f(x)sin2x2是满足条件的一个函数

12．若存在实数t，对任意的x(0，s]，不等式(2xxt)(1tx)0恒成立．则s的值

可以为 A．35355151 B． C． D．

2222三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置

上）

y21的左、13．已知F1，F2为双曲线x右焦点，P为双曲线右支上一点，且PF12PF2，42则△PF1F2的面积为 ．

)，14．已知实数a，b(2，且满足

11bln，则a，b，ab的大小关系是 ． a2b2a15．数学多选题有A，B，C，D四个选项，在给出选项中，有多项符合题目要求全都选对的

得5分，部分选对的得3分，有选错的不得分，已知某道数学多选题正确答案为B，D，

2

小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了至少一个选项，则他能得分的概率为 ． 16．在三棱锥P—ABC中，PA⊥AB，PA＝4，AB＝3，二面角P—AB—C的大小为30°，

在侧面△PAB内（含边界）有一动点M，满足M到PA的距离与M到平面ABC的距离相等，则M的轨迹的长度为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）

在①对任意n＞1，满足Sn1Sn12(Sn1)，②Sn12Snan，③Snnan1n(n1)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列an的前n项和为Sn，a24， ，若数列an是等差数列，求数列an的通项公式；若数列an不一定是等差数列，说明理由．

（注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分）

18．（本小题满分12分）

振华大型电子厂为了解每位工人每天制造某种电子产品的件数，记录了某天所有工人每人的制造件数，并对其进行了简单随机抽样统计，统计结果如下： 制造电子产品的件数 工人数 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100) （1）若去掉[70，80)内的所有数据，则件数的平均数减少2到3（即大于等于2，且小于3），试求样本中制造电子产品的件数在[70，80)的人数x的取值范围；（同一区间数据用该组区间数据的中点值作代表）

（2）若电子厂共有工人1500人，且每位工人制造电子产品的件数X~N(70，112)，试估计制造电子产品件数小于等于48件的工人的人数．

)，附：若X~N(，则P(x)≈0.68，P(2x2)≈0.96．

19．（本小题满分12分）

如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB·sin∠ABD＝OD·sin∠ADB，∠ABC＝

2

，AB＝3BC＝3． 3（1）求sin∠DAC；

3

（2）若∠ADC＝

2，求四边形ABCD的面积． 3

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAC⊥底面ABCD，PA＝PC＝AC．

（1）证明：AC⊥PB；

（2）若PB与底面所成的角为45°，求二面角B—PC—A的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C的焦点在x轴上，并且经过点(0，1)，离心率为3． 2（1）求椭圆C的标准方程；

（2）动直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点M，与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为D，求△OMD面积的最大值，并求此时点D的坐标．

22．（本小题满分12分）

已知函数f(x)xex1xlnx．

4

（1）求函数yf(x)在x＝1处的切线方程； （2）证明：（i）f(x)2；（ii）任意nN，e

n1(2nlnn)n．

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