中考数学专题培优：二次函数综合应用(含答案)

2020年中考数学专题培优 二次函数综合应用（含答案）

一、解答题（共有7道小题）

1.如图，直线yx1与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴

上，满足OA=OC，抛物线yax2bxca0经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。

（1）球抛物线的解析式。

（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使PA+ PC的和最小。求出点P的坐标。 y B x AODC

2.如图，已知二次函数yax22xc的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点

＝＋A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数yax22xc的表达式；

＝＋(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

AOyCPBx＋＋

3.如图，已知二次函数yax2bxc的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)

＝＋两点，与y轴相交于点C(0，－3)． (1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC． ①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标． AO

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yyHBMPxC＋x26x5的图象与x轴交于A、B＝－＋两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l． (1)求点P，C的坐标；

(2)直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

－

yPAODBxlC

5.如图，已知二次函数yax22xc的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点

＝＋A，点B(3，0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数yax22xc的表达式；

＝＋(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

6.如图，直线yx1与x轴教育点A，切经过点B(4，m)。点C在y轴负半轴

yCPAOBx＋＋

上，满足OA=OC，抛物线yax2bxca0经过A、B、C三点，且与x轴的另一交点为D。

（1）球抛物线的解析式。

（2）在y轴上是否存在一点G，似的GBGD 的值最大？若存在，求出点G的左边；若不存在，请说明理由。 y B x AODC

1352，点C，2． 7.已知顶点为A抛物线yax2经过点B，222(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点

2F，在直线AB上有一点P，若OPMMAF，求△POE的面积；

(3)如图2，点Q是折线A－B－C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到VQEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．

图1图2yBPMOECBQ＝yECN1xMONFAFA

参考答案

一、解答题（共有7道小题）

1.（1）解：把y=0代入yx1，得x=-1，所以A(-1，0)

由OA=OC可得C(0，-1)

将B(4，m)代入yx1可得m=5，所以B(4，5)

所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入yax2bxca0可得

a120abc516a4b1，解得b1 ，进而，y1x21x1

c1222c12（2）y12x212x1=12x1298

所以，函数的对称轴为直线x12，点A(-1，0)关于直线x12的对称点为A’0)。A’C与直线x12的交点即为点P。 设A’C所在直线解析式为ykxb，进而可得y12x1 当x12时y132x14 所以，点P的坐标为132,4

2.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

9a6c0c3， 解得a1c3，

二次函数的解析是为y＝－x2＋2x＋3；

(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，

，(2

如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

'P

yCPEAOBx

图1∵C(0，3)，

3∴E(0，)，

23∴点P的纵坐标，

233当y＝时，即x22x3，

22－＋解得x1210210，x2(不合题意，舍)， 22∴点P的坐标为(

(3)如图2，

3210，)； 22yCPAOQFBx图2＋

P在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

3k30， b3k1解得．

b3直线BC的解析为y＝－x＋3， 设点Q的坐标为(m，－m＋3)，

PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m． 当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，

OA＝1，

AB＝3－(－1)＝4，

＝＋S四边形ABPCSVABCSVPCQSVPBQ

111＝AB•OC＋PQ•OF＋PQ•FB 22211＝×4×3＋(－m2＋3m)×3 2233＝m22275， 8－－3当m＝时，四边形ABPC的面积最大．

2315315当m＝时，－m2＋2m＋3＝，即P点的坐标为(，)．

242431575当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为．

8243.解：(1)将A，B，C代入函数解析式，得

abc09a3bc0， c3＋＋

a1解得b2，

c3这个二次函数的表达式y＝x2－2x－3； (2)设BC的解析式为y＝kx＋b， 将B，C的坐标代入函数解析式，得

3kb0， b3k1解得，

b3BC的解析式为y＝x－3，

设M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)，

3294PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－)2＋，

39当n＝时，PM最大＝；

24②当PM＝PC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2， 解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝3，

n2－2n－3＝－0， P(3，0)．

当PM＝MC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2，

解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3－2，n3＝3＋2(不符合题意，舍)，

n2－2n－3＝2－42， P(3－2，2－42)；

综上所述：P(3－2，2－42)．

4.解：(1)∵y＝－x＋6x－5＝－(x－3)＋4，

2

2

∴顶点P(3，4)， 令x＝0得到y＝－5， ∴C(0．－5)．

(2)令y＝0，x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5，

∴A(1，0)，B(5，0)，

b5设直线PC的解析式为y＝kx＋b，则有，

3kb4k3解得，

b55∴直线PC的解析式为y＝3x－5，设直线交x轴于D，则D(，0)，

3设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，

2∵AD＝，

34∴BE＝，

31119∴E(，0)或E′(，0)，

33yPAODEBE'x则直线PE的解析式为y＝－6x＋22，

9∴Q(，－5)，

2638直线PE′的解析式为y＝－x＋，

5521∴Q′(，－5)，

2921综上所述，满足条件的点Q(，－5)，Q′(，－5)．

225.解：(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

lCQQ'9a6c0， c3a1解得，

c3二次函数的解析是为yx22x3；

＝－＋(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上， 如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E， ∵C(0，3)，

3∴E(0，)，

23∴点P的纵坐标，

2＋yCP'EAOPBx

33当y＝时，即x22x3，

22－＋解得x1210210，x2(不合题意，舍)， 22∴点P的坐标为(

(3)如图2，

3210，)； 22P在抛物线上，设P(m，－m2＋2m＋3)， 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

＋3k30， b3k1解得．

b3直线BC的解析为y＝－x＋3， 设点Q的坐标为(m，－m＋3)，

yCPPQAOFBxPQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m． 当y＝0时，－x＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3，

2

图2OA＝1，

AB＝3－(－1)＝4，

＝＋S四边形ABPCSVABCSVPCQSVPBQ

111＝AB•OC＋PQ•OF＋PQ•FB 22211＝×4×3＋(－m2＋3m)×3 2233＝m22275， 8－－3当m＝时，四边形ABPC的面积最大．

2＋＋

3153152

当m＝时，－m＋2m＋3＝，即P点的坐标为(，)．

242431575当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积值为．

8246.（1）解：把y=0代入yx1，得x=-1，所以A(-1，0)

由OA=OC可得C(0，-1)

将B(4，m)代入yx1可得m=5，所以B(4，5)

所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入yax2bxca0可得

1a20abc1121516a4b1，解得b ，进而，yxx1

222c1c1（2）连接BD并延长，交y轴于点G，则点G即为所求。

设BD所在直线解析式为ykxb，代入B(4，5)，D(2，0)进而可得y5x55 2所以，存在这样的点G(0，-5)

5x5。 2当x时y132代入yax2， 7.解：(1)把点B，22解得：a＝1，

21∴抛物线的解析式为：yx2；

211(2)由yx2知A(，－2)，

22设直线AB解析式为：y＝kx＋b，代入点A，B的坐标，

12kb2得：，

32kb222k2解得：，

b1∴直线AB的解析式为：y＝－2x－1，

易求E(0，1)，F0，74，M12，0， 若∠OPM＝∠MAF， ∴OP∥AF， ∴△OPE∽△FAE，

∴

OPOEFA＝FE1343， 4∴OP43FA41753(20)2(24)23， 设点P(t，－2t－1)，则：t2(2t1)253 解得t2115，t223， 由对称性知；当t2115时，也满足∠OPM＝∠MAF，∴t22115，t23都满足条件，

∵△POE的面积＝12•OE•|t|，

∴△POE的面积为115或13．

(3)若点Q在AB上运动，如图1，

设Q(a，－2a－1)，则NE＝－a、QN＝－2a， 由翻折知QN′＝QN＝－2a、N′E＝NE＝－a， 由∠QN′E＝∠N＝90°易知△QRN′∽△N′SE，

∴

QR＝RN'ESQN'EN'，即QR1＝2a12aN'SESa＝2，∴QR＝2、ES＝2a12，

由NE＋ES＝NS＝QR可得－a＋

2a12＝2， 解得：a＝－54，

∴Q(－54，32)；

QRN'NES图1RN'

Q若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2， 设NE＝a，则N′E＝a，

易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3， ∴QR＝5、SE＝5－a，

在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2， 解得：a＝355， ∴Q(－

355，2)； 若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3， 设NE＝a，则N′E＝a，

易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3， ∴QR＝5、SE＝5－a，

在Rt△SEN′中，(5－a)2＋12＝a2， 解得：a＝

355， ∴Q(

355，2)． 综上，点Q的坐标为(－535354，32)或(－5，2)或(5，2)．

RQSEN图3N'