科技信息 高校理科研究 导数在不等式巾舶应用 广东省汕头市潮阳区职业技术学校 陈海兰 ［摘要］本文给出了几种用导数来证明不等式的方法，通过这些方法，可以比较简洁，快速地解决一些不等式的证明问题。 ［关键词］不等式证明 导数 １．微分中值定 该法适用于：经过简单变形，不等式的一端可写成墼 或 立，从而曲线ｙ＝ｓｉｎ ｘ是［０， ］的曲弧段，在（０，１ｒ）内，它必在端点（０，Ｏ）与（盯， 等 ｇ Ｊ—ｇ【ａＪ 欲证命题是区间内“至少”一点∈（或ｘ０）使命题成立。 证题程序： ①作出两函数ｆ（１）、ｇ（ｔ）； ②写出微分中值公式： ＝Ｄ ③根据需要对ｆ 、 （ 进行放缩。一ａ ｒ （∈）或 《ｇＩｂ３ｌ 彗＝—ｄａｌ ；ｇ Ｉ Ｉ 例ｉ求证：ｘ＞Ｏ时， 一＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ 证明：固定ｘ，函数ｆ（Ｏ＝ｌｎｔ在区间【１，１＋ｘ］满足拉格朗日中值定理，故 存在考∈（１，ｌ＋ｘ），即１＜专＜ｌ＋ｘ使得ｆ（考）＝ ： 因为ｆ（１）：＿１Ｐ（ ＝ １，，七＜｝＜１所以 ｃ ＜１乘以ｘ（＞０） 得≠一＜ｌｎ（１＋ｘ）＜ｘ，故不等式得证。 ２．利用函数的单调性 该方法适用于某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式通常 是通过做辅助函数来完成的。 证题程序： ①移项，有时需作简单的恒等变形，使不等式一端为…０’，另一端即 为所作的辅助函数ｆｉｘ）； ②求ｆ（ｘ）并验证ｆｉｘ）在指定区间的单调性； ③求出区间端点的函数值（或极限值）作比较即可得证。 例２证明：当ｘ＞ｌ时，有ｌｎｘ＞ ； 证明：令ｆ（ｘ）：１ 一 ｆ（ｘ）：ｌ 一 因为ｒ（ｘ）＝ １一丽４ ＝ 所以当ｘ＞１时，ｆ（ｘ）＞０因此ｆ（ｘ）单调 增加 又ｆ（１）＝０，从而ｆ（ｘ）＞ｆ（１）＝０ 即当ｘ＞ｌ时，ｌｎｘ一 ＞０ 也即ｌｎｘ＞．２（ｘ－ １） ３．利用函数的极值与最值 适用范围也是在某区间上成立的不等式，证明的方法基本上与２ 相似，不过这里与所作的辅助函数比较的不是函数的端点值，而是极值 与最值。 例３设ｏ≤ｘ≤１，ｐ＞ｌ证明不等式：— 丁＿≤ｘ （１一ｘ）Ｐ≤１ 证明：令 ｘ）＝ｘＩ＋ｌ（１一ｘ】 ，则 Ｐ（ｘ）＝ｐｘＰ－ ＋ｐ（１一ｘ）ｐ＿ ＝ｐ －Ｉ卜 ＋（１一ｘ）ｐ－ ］ ｆ’（ｘ）＝ｐ ＋ｒ ’（１一）０一 令ｆ（ｘ）＝ｏ得ｘ＝ ｆ”（ｘ）＝ｐ（ｐ一１）ｌ（｝） ＋（｝） ｌ＞０ 故ｆ（ｘ）在ｘ＝ １处取极小值 ‘。．ｆ（１）：ｆ（０）：１，ｆ（｝）：—杀 ・．．ｆ（ｘ）在［０，１】上取最大值为ｌ，最小值为 ‘．．－ 丁≤ｘＰ＋（１一ｘ）ｐ≤１ ４．利用函数图形的凹凸性 函数凸凹性的判定定理：设 ｘ）在ａ，ｂ）内具有二阶导数，那么 （１）如果在ａ，ｂ）内恒有ｆｔ（ｘ）＞０，则曲线ｙ＝ ｘ）在ａ，ｂ）Ｆｋ］是凹的； （２）如果在（ａ’ｂ）内恒有ｆ”（ｘ）＜Ｏ，则曲线ｙ＝ ｘ）在（ａ，ｂ）内是凸的。 例４证明：当Ｏ＜ｘ＜＇ｒｒ时，有ｓｉｎ ｘ＞ｘ 分析：曲线ｙ＝ｓｉｎ 在【０，叮Ｔ］上连续，且ｙ”＝一 １ ｓｉｎ｝＜ｏ在（０， ）内成 ．－－——８４．－－—— １）的连线ｙ＝ 的上方。 证明：设 ｘ） ｓｉｎ争一 则有ｒ’（ｘ）一｝ ２＜０（０＜ｘ＜ ） ‘．．ｙ＝ｆ（ｘ）的图像在（０， 内上凸，又因ｆ（ｌ０） １）＝０，可见Ｏ＜ｘ＜竹时，ｆ（ｌｘ）＞０ 即ｓｉｎ ＞ｘ成立。 ５．用函数的幂级数展开式 例５证明：当０＜ｘ＜ Ｔｆ时，ｔｇｘ＋２ｓｉｎｘ＞３ｘ 证明：设ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ则ｆ（ｎ）＝ｓｉｎ（ｘ＋ ），ｎ＝ｌ，２ ３・・ ’．．ｓｉｎｘ在（一。。，＋ ）内可展成幂级数 ｓｉｎｘ＝ｘ－争＋争一鲁 ＿（０＜ｘ 它是交错级数，有ｓｉｎｘ＞ｘ一 ，故２ｓｉｎｘ＞２ｘ一 同理ｔｇｘ也可展成幂级数ｔｇｘ＝ｘ＋‘｝＋｛｝－ 争＋．．‘ 它是正项级数，有ｔｇｘ＞ｘ＋ 所以ｔｇｘ＋２ｓｉｎｘ＞ｘ＋ ＋２ｘ一 即ｔｇｘ＋２ｓｉｎｘ＞３ｘ 当然，对于有些不等式的证明，可以用上面给出的一种或者两种以 上的方法来解决，有些则要综合多种方法来解决，这就要视题目而定 了。例如： 例：设０＜ａ＜ｂ，证明不等式： 訾 证：先证右边不等式： 设 （ｘ）＝ｌｎｘ—ｌｎａ一 三兰＝（ｘ＞ａ＞Ｏ） 、／ａｂ －・ ・（ ）： 一——＿ｌ：（——— ：＋——— ＿Ｉ）一（ＶＴ－ＶＴ）．＜０ —Ｘ Ｖ ａ ２Ｖ Ｘ ２ｘＶ ｘ ２ｘＶａｘ 故当ｘ＞０时，ＩｌＪ（ｘ）单调减少，又ＩＩＪ（ａ）＝０，所以当ｘ＞ａ时，’｛Ｊ（ｘ）＜ （ａ）＝Ｏ 即 （Ｘ）一 （ａ）＜ ； ，从而当ｈ＞ａ＞０时，ｌｎｂ～ｎａ＜— ，即 ＝ ＜ 、／ａｘ、／ａｘ ｕ一 再证左边不等式： 证法ｌ、设函数ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ（ｘ＞ａ＞０） 由拉格郎日中值定理可知，至少存在一点ｓ∈（ａ，ｂ）使得： ＝（１ｎｘ）ｌ ＝｝ 由于ｏ＜ａｃｓ＜ｂ，故｝ １＞ ２ａ：，从而 丽２ａ 证法２设ｆ（ｘ）＝（ｘ ＋ （１ｎｘ—ｌｎａ）一２ａ（ｘ－ａ）（ｘ＞ａ＞０） 因ｆ（ｘ）：２ （１ｎｘ－ｌ ａ】＋（ ｚ＋ ’ｌ＿一２ａ＝２ｘ（１ｎｘ—ｌｈａ）＋ ＝三 ＞ｏ 故当ｘ＞ａ时， ｘ）单调递增，又 ａ）＝０，所以当ｘ＞ａ时，ｆ（ｘ）＞ ａ）：０ 即（ｘ ＋ａ’ ｎｘ—ｌｎａ）一２ａ（ｘ—ａ）一２ａ（ｘ—ａ）＞０ 从而当ｂ＞ａ＞。时，有（ａ２＋ｂ ｎｂ—ｌｎａ）一２ａ（ｂ—ａ）＞０即 ＜ 以上内容从概括性的角度系统地总结了导数在不等式证明中的应 用，分别从六个方面加以举例说明。 参考文献 ｆ１］陈少华微积分［Ｍ］上海交通大学出版社，２０００．８ ［２］华东师范大学数学系数学分析［Ｍ］．高等教育出版社，２００１．６ ［３］寇业富．数学的实践与认识［ｊ］第６期，２００３ ６ ［４］刘恒群．宁夏Ｘ－学院学报自然科学版，１９９７．３ ［５］张志军数学分析新思想与新思维［Ｍ］．兰州大学出版社，１９９９
