２０１８年第０４期总第３８９期 数理 ：解题研究 ＝ 圆锥曲线的解题方法探析 徐摘博 １３０３００） （吉林省德惠市实验高中二年七班要：圆锥曲线作为高中数学学习的重要内容，其解题存在一定难度，如果不掌握多种解题方法，在解 题中就会存在一定困难．本文对圆锥曲线的几种解题方法进行了探讨交流． 关键词：圆锥曲线；解题方法；高中数学 中图分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 由于圆锥曲线解题过程比较复杂，许多同学对此感 ．文章编号：１００８—０３３３（２０１８）０４—００４５—０２ 。．到解题困难，这主要是由于没有掌握圆锥曲线的解题方 可求出÷＜ｅ＜１． 二 法策略与技巧．圆锥曲线的解题方法技巧不少，需要掌握 多种方法策略，这样才能在解题时灵活运用，从而提高解 题效率． 一点评在求解此题时许多同学对此没有思路，是因 为对题目中的条件：“在椭圆上存在一个点Ⅳ，能使ＭＮ线 段的垂直平分线经过点 ”不能进行有效的转化，造成解 题困难．如果能把上述条件转化成：“在椭圆上存在一点 Ⅳ，使得ＭＦ：ＮＦ．”这样就能使题目容易解决． 、运用化归方法解题，能够降低解题难度 在遇到复杂的圆锥曲线问题时，可以运用化归的思 想方法，把所求的问题转化成简单的问题，这样就能有效 降低解题难度．虽然圆锥曲线具有复杂性和综合性特点， 二、运用分类讨论方法，能够全面综合解题 在解题时遇到多种情况，需要对题目进行分类讨论，对 每一种情况进行逐个求解，然而进行综合归纳，就能提高解题 的全面性和综合性，使解题的过程既不遗漏也不重复 ．．但是圆锥曲线解题本质是用代数方法来解决几何问题， 实际上是把几何问题与代数问题进行了相互转化运用化归 的数学思想方法，就能容易解决复杂的圆锥曲线问题 ２ ．．２ 例２已知在平面坐标中椭圆ｃ的方程是： ＋各＝ 口 Ｄ 例ｌ 已知在椭圆 ＋鲁＝ Ⅱ ，Ｊ ： １（Ⅱ＞０，ｂ＞０），ｅ＝ ＪＩ．．有一直线Ｚ： —ｍｙ—ｌ＝０（ｍ∈Ｒ） 二 １ ｌ（０＞０，ｂ＞０）中，它的右焦点是 Ｆ，右准线和 轴相交于 点，假 如在椭圆上存在一个点Ⅳ，能使 ＭＮ线段的垂直平分线经过点Ｆ， 则椭圆离心率ｅ的范围是多少？ Ｍ’ 通过该椭圆的右焦点，并与椭圆相交于Ａ、曰两点． （１）求出椭圆的方程． （２）有一个定点Ｄ（÷，Ｏ），连接线段肋，过Ａ点做垂 直于Ｙ轴的直线ｚ．，该直 Ｙ ‘ 一 ｔ 解析假设在椭圆上存在这样的点Ⅳ，能够让ＭＮ线 线与ＢＤ相交于Ｐ．求：当 １１１，变化时，是否有一条定 直线Ｚ ，使得点Ｐ恒在直 线ｆ２上？如果该直线存 段的垂直平分线过点 ，也就是在椭圆上有一点Ⅳ，使ＭＦ ：ＮＦ，．．．ＭＦ：旦＿２一／ ／ ｜、＼＼ １一 ｃ，而ⅣＦ的取值范围是：。一ｃ≤ⅣＦ≤。 Ｃ ＋ｃ，可把问题转化成了。一ｃ≤ 一ｃ≤Ⅱ＋ｃ，把此不等式 两边同乘即 ，得１一。≤ 一 ≤１＋ ，解此不等式可得。 ≥在，求出其方程；如果不存 在，说出理由． 解析图ｌ （１）要求椭圆方程可通过椭圆方程中的ａ、ｂ．ｃ 的关系式来求出其值，根据题意知直线ｚ过椭圆右焦点， 丢，。． ０＜ｅ＜１， 收稿日期：２０１７—１１—０１ －作者简介：徐博（２００１．４一），吉林人，在校学生 －－－——４５．－－—— ＝ 数理化解题研究 ２０１８年第０４期总第３８９期 可知椭圆右焦点坐标是（１，０），可得出ｃ＝１，‘．‘ｅ： ＝ （２）已知圆０方程是： ＋Ｙ ＝２，在其上有一个动点 Ｐ（ 。，Ｙ。），（ｘｏｙ。≠０），过Ｐ点的切线１与双曲线相交于 、 Ｂ两点，求证：／ＡＯＢ的大小为定值． ｎ ，寺，．·．。＝２，则６ ＝３，．·．椭圆方程是等＋等＝１． （２）本问可用多种方法求解． ／Ｙ 方法一：假设Ａ（ ，Ｙ。）、Ｂ（ ，Ｙ：）两点坐标，根据 解析（１）根据题意可得如下方程组：｛。 。ｊ，可 和Ｙ轴垂直，可求出ｚ。：直线ＢＤ方程： ： （ 一 ２一 手），根据两直线相交可得出Ｐ（—— ｙ。（ ÷ 十号，Ｙ ），又’．’ 直线Ｚ和椭圆相交，联立方程可得出（４＋３ｍ Ｙ ＋６ｍｙ一９ —６ｍ Ｙｌ ２ ＿０’△＝１４４（１ ）＞０，．．．①，代入 － 一 ＹｌＹ２ —４＋３—ｍ２ Ｐ点横坐标式子中可得其 ＝４＇．．．直线Ｚ：存在，当 ＝４时 Ｐ点恒在Ｚ 上． 方法二：令／７１，＝０，根据直线ｆ和椭圆相交可求出Ａ点 和日点有两组交点，通过两组坐标可分别求出Ｐ点坐标 是Ｐ（４，÷）或Ｐ（４，一÷），由此看出符合题目要求的直 线Ｚ 只能是 ＝４，只要能证明Ｐ点恒在 ＝４上即可．可 通过分别求出线段ＤＢ和ＤＰ的斜率，再根据方法一中的 ①式就可证明ｋ册＝ｋ…．·．可证明Ｐ点在ＢＤ直线上，直 线Ｚ 和直线ｚ 这三线共线，．·．存在这样的直线． 点评本题虽然假设了 、曰两点的坐标，但是并不 求解，而是运用韦达定理进行求解，这样能简化计算过 程．由于题目中所给的直线方程ｚ中含有参数ｍ，直线方 程不确定，一般情况下需要分情况进行讨论，而直线Ｚ与 轴垂直是一种特殊情况，假如垂直时ｆ’直线存在，它肯定 符合上述情况，可通过特殊情况找出该直线，然后再验证 该直线是否符合题意． 三、运用向量方法解题，创新解题方法技巧 运用向量的方法解决圆锥曲线问题非常方便快捷， 解题时应遵循三个步骤：先将圆锥曲线问题转化成向量 问题，利用向量进行计算，最后再把向量计算的结果转化 成圆锥曲线问题．其中的把圆锥曲线问题转化成向量问 题是该方法应用的关键． 例３ 已知双曲线Ｃ的方程 Ｌ 是： ＋告＝１（Ⅱ＞０，ｂ＞０），ｅ＝ ，其右准线是： ： ． （１）求双曲线方程． ３ 一４６一 【三： 求出ｎ＝１，ｃ＝√ ，．·．ｂ。＝２，．·．双曲线方程是Ｘ２一 ：１． （２）‘．‘点Ｐ在圆上，．’．过Ｐ点的切线方程是Ｙ—Ｙ。＝ 一 （ 一 ），化简后变为？ｇｏ ＋ＹｏＹ：２，把双曲线和切线 ， 一等 １， 组成方程组，｛Ｘ０ ＋ＹｏＹ＝２，解方程组可得出关于 的一 ＋Ｙ ＝２， 元二次方程：（３ ：一４） 一４ｘ。 ＋８—２ｘ ＝０，’．‘切线和双 曲线相交于不同的两点Ａ和Ｂ，并且０＜ ＜２，．·．３ｘ 一４ ≠０，／ｔ．＝１６ｘ 一４（３ｘ 一４）（８—２ ）＞０． 假设两点坐标是Ａ（ 。，Ｙ。）、Ｂ（ ，Ｙ ），可求出 ｒ 【 郦向量的方法操 一 ＯＡ·ＯＢ＝ ｌ＋ ２＋ＹｌＹ２＝ ｌ ２＋ （２一Ｘｏ １）（２一 ＋去［４－２ｘｏ ２ ： 嚣＋ 去 ＋ ·．．可证明两向量垂直，即／ＡＯＢ＝９０。． 点评运用向量的加法、减法及其几何意义、平面向 量的数量积及其几何意义来解决圆锥曲线问题非常方便 快捷，因此，应注重发挥向量在圆锥曲线解题中的应用， 从而提高解题效率． 总之，要提高圆锥曲线的解题效率，就要掌握解题的 多种方法和技巧并加以灵活运用，才能高效解题，由于圆 锥曲线觎题的方法较多，本文只选取了三种，希望能起到 参考文献： ［１］赖春葵．高中数学圆锥曲线教学及在解题中的 应用探析［Ｊ］．数学学习与研究，２０１５（３）． ［２］戴锦权．从考题探析圆锥曲线题解题策略［Ｊ］． 理科考试研究，２０１３（１３）． ［责任编辑：杨惠民］
