三角函数、解三角形专题测试
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．cos(－
17π17π
)－sin(－)的值是 ( ) 44
A.2 B．－2 C．0 D.2
2
解析：原式＝cos(－4π－ππ
4)－sin(－4π－4)
＝cos(－ππ
4)－sin(－4)
＝cosππ
4＋sin4＝2. 答案：A 2．已知sinα＝
2m－5m＋1，cosα＝－m
m＋1
，且α为第二象限角，则m的允许值为( A.552＜m＜6 B．－6＜m＜2 C．m＝4 D．m＝4或m＝3
2 解析：由
sin2α＋cos2α＝1
得，(2m－5m＋1)2＋(－m2
m＋1
)＝1，
∴m＝4或3
2，又sinα＞0，cosα＜0，把m的值代入检验得，
m＝4. 答案：C
3．已知sin(x＋π4)＝－3
5，则sin2x的值等于 A．－
7725 B.25 C．－1825 D.1825
解析：sin(x＋π4)＝22(sinx＋cosx)＝－35，
所以sinx＋cosx＝－32
5
，
所以(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x＝187
25，故sin2x＝－25.
答案：A
) ( )
4．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( ) a2＋b2a2＋b2
A．a＜＜b B．a＜b＜
22a2＋b2a2＋b2
C．b＜＜a D．b＜a＜
22解析：a＝2sin(15°＋45°)＝2sin60°， b＝2sin(17°＋45°)＝2sin62°，b＞a.
a2＋b2
＝sin260°＋sin262°＞2sin60°sin62°＝3sin62°， 2a2＋b2∴＞b＞a.
2答案：B
5．(2010·惠州模拟)将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数yπ
＝sin(x－)的图象，则φ等于 ( )
6π11π7π5πA. B. C. D. 6666
ππ11π
解析：依题意得y＝sin(x－)＝sin(x－＋2π)＝sin(x＋)，将y＝sinx的图象向左平
66611π11ππ
移个单位后得到y＝sin(x＋)的图象，即y＝sin(x－)的图象． 666答案：B
6．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是 ( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 πππππ解析：cosA＝sin(－A)＞sinB，－A，B都是锐角，则－A＞B，A＋B＜，C＞. 22222答案：C
π
7．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称．则下列四个函数中，同
3时具有性质①②的是 ( ) xππ
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋) 266π
C．y＝sin|x| D．y＝sin(2x－)
6
2πππππ
解析：∵T＝ω＝π，∴ω＝2.对于选项D，又2×－＝，所以x＝为对称轴．
3623答案：D
1
8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为( )
3929292A. B. C. D．92
248解析：由余弦定理得：三角形第三边长为
1
22＋32－2×2×3×＝3，
3
且第三边所对角的正弦值为 392
所以2R＝⇒R＝.
822
3答案：C
1221()2＝3，
39．在△ABC中，角A，B所对的边长为a，b，则“a＝b”是“acosA＝bcosB”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：a＝b⇒A＝B⇒acosA＝bcosB，条件是充分的；acosA＝bcosB⇒sinAcosA＝π
sinBcosB⇒sin2A＝sin2B⇒2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，故条件是
2不必要的． 答案：A
π
10．已知函数f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x＝，则a的值为
12
( )
13
A. B.3 C. D．2 23π
解析：函数y＝sinx的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z，f(x)＝
2
a2＋1sin(2x＋φ)，其中
ππ1
tanφ＝，故函数f(x) 的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，而x＝是其一条对称
a212轴方程，所以2×
πππ1
＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，故tanφ＝＝tan(kπ
a1223
π3
＋)＝3，所以a＝. 33答案：C
11．已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析
式可能为 ( )
xπ
A．f(x)＝2cos(－)
23π
B．f(x)＝2cos(4x＋)
4xπ
C．f(x)＝2sin(－) 26π
D．f(x)＝2sin(4x＋)
4
解析：设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，由函数的最大值为2知A＝2，又由函数图象知该5π2ππ11
函数的周期T＝4×(－)＝4π，所以ω＝，将点(0,1)代入得φ＝，所以f(x)＝2sin(
33262ππ1
x＋)＝2cos(x－)．
623答案：A
1＋cos2x＋8sin2xπ
12．(2010·抚顺模拟)当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为 ( )
2sin2x
A．2 B．23 C．4 D．43
1＋cos2x＋8sin2x2cos2x＋8sin2xcosx4sinx
解析：f(x)＝＝＝＋≥2
sin2x2sinxcosxsinxcosx
cosx4sinxπ11
当且仅当＝，即tanx＝时，取“＝”，∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，sinxcosx222这时f(x)min＝4.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上) 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，C＝75°，a＝4，
则b＝________.
abb4
解析：易知A＝45°，由正弦定理＝得＝，解得b＝26. sinAsinBsin45°sin60°答案：26 14．计算：
cos10°＋3sin10°
＝________.
1－cos80°
cosx4sinx·＝4， sinxcosx
cos10°＋3sin10°2cos(10°－60°)2cos50°解析：＝＝＝2. 240°2sin2sin40°1－cos80°答案：2
15．在△ABC中，已知tanA＝3tanB，则tan(A－B)的最大值为________，此时角A的
大小为________．
2tanB3
解析：由于tan(A－B)＝＝＝≤.当且仅当1
1＋tanAtanB1＋3tanB·tanB1＋3tan2B3＝3tanB时取“＝”号，则tanB＝答案：
16．如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)，x∈R的部分图象，则下
列命题中，正确命题的序号为________． π
①函数f(x)的最小正周期为；
2②函数f(x)的振幅为23；
7π
③函数f(x)的一条对称轴方程为x＝；
12π7π
④函数f(x)的单调递增区间为[，]；
1212⑤函数的解析式为f(x)＝3sin(2x－
2π)． 3
3
60° 3
3
⇒tanA＝3⇒A＝60°. 3
tanA－tanB3tanB－tanB
5ππ
解析：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为(－)×2＝π，故①不正确；函数f(x)
635ππ＋
637π
的振幅为3，故②不正确；函数f(x)的一条对称轴方程为x＝＝，故③正确；
212π7π7π
④不全面，函数f(x)的单调递增区间应为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z；由3sin(2×
121212＋φ)＝3得2×
7ππ2π
＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－，k∈Z，∵－π＜φ＜π，故1223
2π2π
k取0，从而φ＝－，故f(x)＝3sin(2x－)．
33答案：③⑤
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ππ
17．(本小题满分12分)已知tan(α＋)＝－3，α∈(0，)．
42
(1)求tanα的值； π
(2)求sin(2α－)的值．
3
tanα＋1π
解：(1)由tan(α＋)＝－3可得＝－3.
41－tanα
解得tanα＝2.
π2554
(2)由tanα＝2，α∈(0，)，可得sinα＝，cosα＝.因此sin2α＝2sinαcosα＝，
2555πππ41333
cos2α＝1－2sin2α＝－，sin(2α－)＝sin2αcos－cos2αsin＝×＋×＝
533352524＋33
. 10
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋3(2cos2x－1)．
π
(1)将函数f(x)化为Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在
215
区间[－π，π]上的图象；
66
x ωx＋φ f(x)
(2)求函数f(x)的单调减区间． 解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋3(2cos2x－1) π
＝sin2x＋3cos2x＝2sin(2x＋).
3
x ωx＋φ f(x) 图．
π－ 60 0 π 12π 22 π 3π 0 7π 123π 2－2 5π 62π 0 0 π 2 π 3π 2 2π
ππ3π
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得
232π7π
kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212
π7π
故函数f(x)的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
1212
ππ
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcos(－x)－3sin(π＋x)cosx＋sin(＋x)cosx.
22(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值；
(2)指出y＝f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称． 解：(1)f(x)＝2sin2x＋3sinxcosx＋cos2x ＝1＋sin2x＋3sinxcosx 1－cos2x3
＝1＋＋sin2x
22π3
＝sin(2x－)＋，
62y＝f(x)最小正周期T＝π.
3531
y＝f(x)的最大值为＋1＝，最小值为－1＝.
2222π3
(2)∵y＝＋sin(2x－)的图象
26
y＝sin2x的图象．
A＋C3
20．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝. 23
(1)求cosB的值；
左移个单位123下移个单位2BC＝2，b＝22，求a和c的值． (2)若BCBA·
A＋C3
解：(1)∵cos＝，
23
BπA＋C3∴sin＝sin(－)＝，
2223B1∴cosB＝1－2sin2＝.
23
1
BC＝2可得a·(2)由BA·c·cosB＝2，又cosB＝，故ac＝6，
3由b2＝a2＋c2－2accosB可得a2＋c2＝12， ∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝6.
21．(本小题满分12分)如图所示，甲船由A岛出发向北偏东
45°的方向做匀速直线航行，速度为152海里/小时，在甲 船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛 1
出发，朝北偏东θ(tanθ＝)的方向作匀速直线航行，速度
2为105海里/小时．
(1)求出发后3小时两船相距多少海里？
(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？ 解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示 的平面直角坐标系．
设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
＝15tx1＝152tcos45°则， y1＝x1＝15t
125由tanθ＝可得，cosθ＝，
25sinθ＝
5， 5
x2＝105tsinθ＝10t，故 y2＝105tcosθ－40＝20t－40.
(1)令t＝3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)， |PQ|＝
(45－30)2＋(45－20)2＝850＝534.
即出发后3小时两船相距534海里． (2)由(1)的解法过程易知：
|PQ|＝＝＝＝
(x2－x1)2＋(y2－y1)2
(10t－15t)2＋(20t－40－15t)2 50t2－400t＋1 600 50(t－4)2＋800≥202，
∴当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值202.
即两船出发后4小时时，相距202海里为两船的最近距离． π3
22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2cosxsin(x＋)－.
32(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)若△ABC的三边a，b，c满足b2＝ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f(B)的最大值． π3
解：(1)f(x)＝2cosx·sin(x＋)－
32ππ3
＝2cosx(sinxcos＋cosxsin)－
332133
＝2cosx(sinx＋cosx)－
222＝sinxcosx＋3·cos2x－3
2
1＋cos2x13
＝sin2x＋3· － 22213
＝sin2x＋cos2x 22π＝sin(2x＋)．
3∴T＝
2π2π
＝＝π. |ω|2
a2＋c2－b2a2＋c2－ac
(2)由余弦定理cosB＝得，cosB＝
2ac2aca2＋c212ac111
＝－≥－＝，∴≤cosB＜1，
2ac22ac222ππ而0＜B＜π，∴0＜B≤.函数f(B)＝sin(2B＋)，
33ππππ
∵＜2B＋≤π，当2B＋＝， 3332
π
即B＝时，f(B)max＝1.
12
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