实数知识点题型归纳

知识讲解+题型归纳

知识讲解

一 、 实数的组成

1、实数又可分为正实数，零，负实数

2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应

二 、相反数、绝对值、倒数

1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为| a |3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1a . 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.

三、平方根与立方根

1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数

a的平方根记作a （a>=0）

特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用

3a表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。 四 、实数的运算

有理数的加法法则：

a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：

a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．

b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正

c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为0

4.有理数除法法则：

a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何非0实数都得0。

b）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

5.有理数的乘方:

在an中，a叫底数，n叫指数

a）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；0的任何次幂都是0

b）a0=1（a不等于0）

6.有理数的运算顺序：

a）同级运算，先左后右 b）混合运算，先算括号内的，再乘方、开方，接着算乘除，最后是加减。

五·实数大小比较的方法

1）数轴法：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数

2）比差法：若a-b>0则a>b；若a-b<0则a3）比商法：A.两个数均为正数时，a/b>1则a>b；a/b<1则aB.两个数均为负数时，a/b>1则ab

C.一正一负时，正数>负数

4）平方法：a、b均为正数时，若a2>b2，则有a>b；均为负数时相

反

5)倒数法：两个实数，倒数大的反而小（不论正负）

题型归纳

经典例题

类型一．有关概念的识别

1．下面几个数：0.23…，

，3π，

，

，其中，无理数的个数有（ ）

A、1 B、2 C、3 D、4

…，3π，是无理数

故选C 举一反三：

【变式1】下列说法中正确的是（ ）

A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、

=±1 D、

是5的平方根的相反数

【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，

∵

=9，9的平方根是±3，∴A正确．

∵1的立方根是1，=1，是5的平方根，

∴B、C、D都不正确．

【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A、1

B、1.4 C、 D、

【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系．∵正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知

|AO|=，∴A表示数为

，故选C．

【变式3】

【答案】∵π= 3.1415…，∴9＜3π＜10 因此3π-9＞0，3π-10＜0 ∴

类型二．计算类型题

2．设，则下列结论正确的是（ ） A.

B.

C. D.

解析：（估算）因为

，所以选B

举一反三：

【变式1】1）1.25的算术平方根是__________；平方根

是__________.2） -27立方根是__________. 3）

___________， ___________，___________.

【答案】1）

；.2）-3. 3）， ，

【变式2】求下列各式中的

（1）

（2）

（3）

【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4

类型三．数形结合

3. 点A在数轴上表示的数为

，点B在数轴上表

示的数为

，则A，B两点的距离为______

解析：在数轴上找到A、B两点，

举一反三：

【变式1】如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，

B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ）．

A．

－1 B．1－

C．2－

D．

－2

【答案】选C

[变式2] 已知实数、、在数轴上的位置如图所示：

化简

【答案】：

类型四．实数绝对值的应用 4．化简下列各式：

(1) |

-1.4| (2) |π-3.142|

(3) |

-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)

(5) |x2

+6x+10|

分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对

值。

解：(1) ∵

=1.414…＜1.4

∴|

-1.4|=1.4-

(2) ∵π=3.14159…＜3.142

∴|π-3.142|=3.142-π

(3) ∵＜, ∴|-|=-

(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0, ∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|

=|2x-3| =

说明：这里对|2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们

对

这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运

用。

(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|

∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1＞0

∴|x2

+6x+10|= x2

+6x+10

举一反三：

【变式1】化简：

【答案】=+

-=

类型五．实数非负性的应用

5．已知：

=0，求实数a, b的值。

分析：已知等式左边分母不能为0，只能有＞0，

则要求a+7＞0，分子

+|a2-49|=0，由非负数的和的性质知：

3a-b=0且a2-49=0，由此得不等式组

从而求出a, b的

值。

解：由题意得

由(2)得 a2=49 ∴a=±7

由(3)得 a>-7，∴a=-7不合题意舍去。

∴只取a=7

把a=7代入(1)得b=3a=21

∴a=7, b=21为所求。

举一反三：

【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的

值。

解：∵(x-6)2++|y+2z|=0

且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0,

几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为0。

∴

解这个方程组得

∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=+1=65

【变式2】已知那么a+b-c的值为

___________

【答案】初中阶段的三个非负数： ，

a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2

类型六．实数应用题

6．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为

8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

解：设新正方形边长为xcm，

根据题意得 x2=112+13×8

∴x2=225 （2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方

∴x=±15

形的边长.

∵边长为正，∴x=-15不合题意舍去，

∴只取x=15(cm)

答：新的正方形边长应取15cm。

举一反三：

【变式1】拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个

小正方形。（4个长方形拼图时不重叠）

（1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？

解析：（

1）如图，中间小正方形的边长是：

，所以面积为=

大正方形的面积=

，

一个长方形的面积=

。

所以，

答：中间的小正方形的面积，

发现的规律是：

（或

）

(2) 大正方形的边长：

，

小正方形的边长：

，即

，

又 大正方形的面积比小正方形的面积多24 cm2 所以有，

化简得：

将代入，得：

cm

答：中间小正方形的边长2.5 cm。

类型七．易错题

7．判断下列说法是否正确

（1）

的算术平方根是-3； （2）

的平方根

是±15.

（3）当x=0或2时，

（4）

是分数

解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非

负数.故

（2）表示225的算术平方根，即=15.实际

上，本题是求15的平方根， 故的平方根是.

（3）注意到，当x=0时， =，显

然此式无意义，

发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，

故x≠0，所以当x=2时，x

=0.

（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但

不是分数，它是无理数.

类型八．引申提高

8．（1）已知的整数部分为a，小数部分为b，求

a2-b2的值.

（2）把下列无限循环小数化成分数：①

②

③

（1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术

平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分． 解：由

得

的整数部分a=5,

的小数部分

，

∴

（2）解：(1) 设x= ①

∴

.

则 ②

②-①得

9x=6

∴ . (2) 设 ①

则 ②

②-①，得

99x=23

(3) 设

①

则

②

②-①，得

999x=107，

∴

.