堕 Ｃ：～，…， ＋ａ２０ｌ０＝Ａ＋Ｂ＝（２＋ ）删。，令 ＝一１，则 由①＋②得，２Ｓ＝ｎ（ ＋ｃ ＋ｃ ＋…＋ ，（一１）＝ａｏ—ａ１＋ａ２＋…一ａ２０１０＝Ａ—Ｂ＝ Ｃ：）， （一２＋ ） 叭。，所以（ｎｏ＋ａ２＋…＋ａ舢） ～ 所以ｓ＝÷·ｎ·２ ＝ ·２ 一 ，辰ｐ Ｃ ＋２Ｃ （ｎ１＋０３＋…＋０２００９）２＝Ａ 一Ｂ２＝ １）· 一 ＋３Ｃ：＋…＋ｎＣ：＝１７，·２ ～． １）＝（２＋ ） 叭。（一２＋ ） 叭。＝［（ ＋ 证法２：左边各组合数的通项为ｒＣ：＝ｒ· ２）（ 一２）］舢＝１． 点评：“取特殊值法”是解决二项式系数问 ｒ！（Ｉｔ， 一ｒ）！ （ｒ一１ ）！（ｎ 一ｒ）！ ＝ … 一 所以 ’ ’ 题常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母 Ｃ ＋２ｃ ＋３ｃ ＋…＋ｎＣ：＝ｎ（ｃｏ—ｌ＋ｃ 一ｌ＋ 所取的不同值．一般地，要使展开式中项的关 ｃ ：＋…＋ｃＬ－：）：ｎ·２ ． 系变为系数的关系，令 ＝０可得常数项，令 点评：注意组合数性质的特点和构造“倒 ＝１可得所有项系数之和，令 ＝～１可得偶次 序相加”的条件是解此类题的关键． 项系数之和与奇次项系数之和的差． 四、特殊赋值解决系数和的问题 五、证明不等式 例４ 若（２ ＋√ ）２０加＝ａ０＋ａｌ ＋ｎ２ ＋ 例５ 已知ｎ∈Ｎ＋，求证： ＜２． ……十 ＋ ａ２ｏｏ９ ００９＋ 十 ａ２ｏｌｏ￣ 舢，水 求（ａ ＋ａａ０ ＋ １十…１＋…＋ 分析： ＜２铮 ＜２ ． ａ２０ｌ０） 一（ａｌ＋ａ３＋…＋ｎ２００９） 的值． 解析：令 ）＝（１＋ ） ＝ ＋Ｃ · ＋ 分析：令展开式中的 为±１，便得到２个 Ｃ · ＋…＋Ｃ：· ， 等式，然后根据需求通过解方程得出结果．解 则２“＝ １）＝ ＋ ＋…＋ ＞Ｃ ＝／／，． 析：对二项式定理赋值，认识系数的特征，令 故ｎ∈Ｎ＋，有ｎ＜２ ，虽口 凡＜２． ＝ａｏ＋ａ２＋…＋ａ２０１０，Ｂ：ａ１＋ａ３＋…＋ａ２ｏｏ９， 点评：构造二项式模型，避开了数学归纳 ） ＝ ａ０ ＋ａ１ ＋ａ２ ＋ … ＋ｎ２ｏ０９ 舢 法，简化证明过程． ＋ａ２ｏｌｏＸ ２０１０ ． ｜ ｜ 令 ＝１，贝Ｕ １）＝ａｏ＋ａ１＋ａ２＋…＋口２ｏ０９ ●赵忠平 高中常见概率模型及解题策略 概率是近年来高考的重点和热点问题．归 女工人；乙组有５名工人，其中３名女工人．先 纳总结概率问题的常见概率模型及求解策略 采用分层抽样，从甲、乙两组共抽取３名工人进 能够帮助学生快速识别题型模式，并有针对性 行技术考核． 地选择解题方法，准确解决概率问题．本文总 （１）求从甲、乙两组各抽取的工人人数； 结概率问题中的几种常用概率模型，指出其相 （２）求从甲组抽取的工人中恰有１名女工 应的解题策略，供参考． 人的概率； 选取概型 （３）记 为３名工人中男工人人数，求 的 例１ 某车间甲组有１Ｏ名工人，其中４名 分布列及数学期望． ３· 塑 塑 — 解：（１）甲组应抽取２人，乙组应抽取１人； （２）设“从甲组抽取的工人中恰有１名女工人” 的事件为Ａ，则Ｐ（Ａ）＝％ ＝ ；（３） 取值 的分布列为 为ｏ＇ｌ，２，３’Ｐ（ －０）＝器２＝ ２， －１） 删 Ｏ ｌ ２ ３ ４ 羔 ｃ Ｃ ：堡７５，Ｐ（ ：２）： ｏ ｃ 。 Ｃ 一７５＇Ｐ（ ）＝器Ｃｃ 。 １５ 所以 的分布列为 ０ ｌ ２ ３ ２８ ３１ Ｐ ２５ ７５ ７５ １５ 喏：０×砉＋ ×箬＋２× ＋３×吾：４ ８ × ３ 点评：选取模型关键是按题目特殊要求分 ０ ｌ １¨一＝３ 类选取或分步选取，再利用组合数公式进行概 × 率运算． 一５ 二、排列概型 十 例２ 工人在包装某产品时不小心将两件 不合格的产品一起放进一个箱子，此时该箱子 中共有外观完全相同的六件产品．只有将产品 逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格 的，产品一旦打开不管是否合格都将报废．－ｉＬ 表示将两件不合格产品全部检测出来后四件 合格品中报废品的数量． （１）求报废的合格品少于两件的概率； （２）求 的分布列和数学期望． 解：（１）报废的合格品为０件的概率为 ２ ４１报废的合格品为ｌ件的概率为 ＣＩ二三 ＡＩＡ４１５，所以报废的合格品少于两件的概 率为 ＋言＝ ；（２） 可能取值为０。１，２，３， ４， ＝警＝ ＝ ４· 尸 Ｉ １ ４ ｌ ｌ５ １５ ｌ５ ｔ ｘ吾＋×ｘ ＋ ×２ １＋３× ＋１ × ＋ 点评：与顺序有关的概率问题一般转化为 有特殊元素的排列问题进行计算，往往用到排 列数公式． 三、发生概型 例３ 某中学高一年级美术学科开设书 法、绘画、雕塑三门校本选修课，学生可选也可 不选．学生是否选择哪门课互不影响．已知某 学生只选修书法的概率为０．０８，只选修书法和 绘画的概率是０．１２，至少选修一门的概率为０． ８８．（１）依题意分别计算该学生选修书法、绘 画、雕塑三门校本选修课的概率；（２）用 表示 该学生选修的课程门数和没有选修课程的门 数的乘积，求 的分布列和数学期望． 解：（１）没该学生选修书法、绘嘶、雕 王 门校本选修课的概率分别为Ｐ ，Ｐ ，Ｐ，，则由题 意Ｐ１（１一Ｐ２）（１一，）３）＝０．０８，Ｐｌｐ２（１一 ）＝ ０．１２，ｌ一（１一ｐ，）（１一Ｐ２）（１一ｐ３）＝０．８８，解 得Ｐ ：０．４，Ｐ２＝０．６，Ｐ３＝０．５． （２） 可能取值为０和２， （ ＝０）＝ ｐ１，Ｊ２Ｐ３＋（１一Ｐ】）（１一Ｐ２）（１一Ｐ３）＝０．２４．Ｐ（ ２）＝１一Ｐ（ ＝０）＝０．７６，所以 的分布列 为 ０ ２ ｐ ０．２４ ０．７６ Ｅ ＝０×０．２４＋２×０．７６：１．５２． 点评：发生模型一般要弄清事件发生的条 件和终止的条件，转化为分类发，＃或分步发生 单第蹦 数理化学习ｌ高中 模型，再利用概率加法和乘法公式计算概率． 四、统计概型 例４ 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用 分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽取１４件和５件，测量产品中微量元素 ，Ｙ 体容量等数据，再依据数量关系进行有关的概 率计算． 五、几何概型 例５ 在一个圆锥体的培养房内养了４０ 只蜜蜂，准备进行某种实验，过圆锥高的中点 有一个不计厚度且平行于圆锥底面的平面把 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的５件产品的 测量数据 编号 １ ｌ６９ ７５ 培养房分成两个实验区，其中小锥体叫第一实 ２ １７８ ８０ ３ ｌ６６ ７７ ４ １７５ ７０ ５ １８０ ８ｌ 验区，圆台体叫第二实验区，且两个实验区是 相通的．假设蜜蜂落入培养房内任何位置是等 可能的，且蜜蜂落入哪个位置相互之间不受 影响． （１）已知甲厂生产的产品共９８件，求乙厂 生产的产品数量；（２）当产品中的微量元素 ，Ｙ 满足 ≥１７５且Ｙ≥７５，该产品为优等品，用上 述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量； （３）从乙厂抽出的上述５件产品中，随机抽取２ 件，求抽取的２件产品中优等品数 的分布列 及其均值（即数学期望）． （１）求蜜蜂落入第二实验区的概率； （２）记其中有１０只蜜蜂被染上红色，求恰 有一只红色蜜蜂落入第二实验区的概率； （３）记． 为落入第一实验区的蜜蜂数，求 随机变量 的数学期望Ｅ ． 解：（１）设“蜜蜂落入第二实验区”的事件 解：（１）３５件；（２）１４件；（３） 取值为０，１， 为４，则Ｐ（Ａ）＝ 圆柱 ＝ ７；（２）设“其中有１０ 。 ２ ，＝毳＝ ＝ ＝ 只蜜蜂被染上红色，恰有一只红色蜜蜂落人第 二实验区”的事件为Ｂ，则Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（ ＝２）＝ ＝ ，所以 的分布列为 Ｏ Ｉ ２ １ ｌ０ １０ ｃ：。（ ）’（专） ＝ ７Ｏ；（３） ～Ｂ（４０， ），所以 ＥＸ＝４０× １Ｐ ５． 点评：对于几何概型问题一般转化为线段 ０× ＋ × ＋２× ＝ ． 长度、区域面积、几何体体积等测度的比值进 行汁算． 点评：统计型概率解题关键是通过读表 （数据表）或读图（频率分布直方图、条形图） 找出有关数据，得到频数、频率、样本容量、总 甘肃省永昌县第一高级中学（７３７２００） ●庞军民 精选向量基底，妙解立几问题 在利用向量解决立体几何问题时，选择适 当的基底能给我们解题带来方便．基底主要有 两类：一类是能建立空间直角坐标系，另一类 是不能建立空间直角坐标系．下面用几个例题 ）】＝＝２ 懿潮 ５·