西北农林科技大学数值分析第四章

第四章作

姓名：金辉 学号：2012014280

专业班级：信息与计算科学121班

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

(1)f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);hh(2)2h2h1f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h);

(3)f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3;1h(4)f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)];0解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若(1)hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

2hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hAh1

令f(x)x2，则

23hh2A1h2A1 3从而解得

4A03h1Ah 131A13h令f(x)x，则

3

hhf(x)dxx3dx0

hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

令f(x)x4，则

hhf(x)dxx4dxhh25h52A1f(h)A0f(0)A1f(h)h53故此时，

h

hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

hh故

f(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

2h具有3次代数精度。 （2）若

2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

令f(x)1，则

4hA1A0A1

令f(x)x，则

0A1hAh1

令f(x)x2，则

163hh2A1h2A1 3从而解得

4Ah038Ah 138A13h令f(x)x，则

3

2h2hf(x)dx2h2hx3dx0

A1f(h)A0f(0)A1f(h)0

故

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)成立。

令f(x)x4，则

2h2hf(x)dx2h2hx4dx5h 5165h 3A1f(h)A0f(0)A1f(h)故此时，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

因此，

2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)

1具有3次代数精度。 （3）若

1f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)1，则

11f(x)dx2[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3

令f(x)x，则

012x13x2

令f(x)x2，则

2 212x123x2从而解得

x10.29x10.69或 x0.5266x0.126622

令f(x)x，则

311f(x)dxx3dx0

11[f(1)2f(x1)3f(x2)]/30

故

11f(x)dx[f(1)2f(x1)3f(x2)]/3不成立。

h因此，原求积公式具有2次代数精度。 （4）若

0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]

令f(x)1，则

h0f(x)dxh,

h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h

令f(x)x，则

h0f(x)dxxdx0h12h21h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]h22令f(x)x2，则

h0h1f(x)dxx2dxh303h[f(0)f(h)]/2ah2[f(0)f(h)]故有

13h2ah22

1313hh2ah232

1a12令f(x)x3，则

h0f(x)dxx3dx0h14h41111h[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]h4h4h412244令f(x)x，则

4

h1f(x)dxxdxh005

1111h[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]h5h5h512236h

故此时，

h0f(x)dxh[f(0)f(h)]/2因此，

h012h[f(0)f(h)], 121f(x)dxh[f(0)f(h)]/2h2[f(0)f(h)]

12具有3次代数精度。

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：

(1)xdx,n8;04x21(2)(3)(1e)dx,n10;0 x191x21xdx,n4;(4)sin2d,n6;0解：

1x(1)n8,a0,b1,h,f(x) 284x复化梯形公式为

7hT8[f(a)2f(xk)f(b)]0.11140

2k1复化辛普森公式为

77hS8[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]0.11157

k6k0k121x2(2)n10,a0,b1,h复化梯形公式为

1(1e),f(x) 10x9hT10[f(a)2f(xk)f(b)]1.39148

2k1复化辛普森公式为

99hS10[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.471

k6k0k12(3)n4,a1,b9,h2,f(x)x,

复化梯形公式为

3hT4[f(a)2f(xk)f(b)]17.22774

2k1

复化辛普森公式为

33hS4[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]17.32222k6k0k12(4)n6,a0,b复化梯形公式为

6,h36

,f(x)4sin25hT6[f(a)2f(xk)f(b)]1.03562

2k1复化辛普森公式为

55hS6[f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)]1.03577

k6k0k126。若用复化梯形公式计算积分I过

edx，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超

01x1105？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 2解：

采用复化梯形公式时，余项为

Rn(f)又

10ba2hf(),(a,b) 12Iexdx

故f(x)ex,f(x)ex,a0,b1.

12ehf()h2 121215若Rn(f)10，则

26h2105

eRn(f)当对区间[0,1]进行等分时，

h1, n故有

ne105212.85 6因此，将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为

Rn(f)bah4(4)()f(),(a,b) 1802

又

f(x)ex,

f(4)(x)ex, 14(4)e4Rn(f)h|f()|h28802880若Rn(f)1105，则 2h41440105 e当对区间[0,1]进行等分时

n1 h故有

11440n(10)3.71

e因此，将区间8等分时可以满足误差要求。

8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10.

5(1)220310exdx(2)xsinxdx (3)x1x2dx.0解：

(1)Ik 0 1 2 3 210exdx

T0(k) 0.7717433 0.7280699 0.7169828 0.7142002 2T1(k) 0.7135121 0.7132870 0.7132726 T2(k) 0.7132720 0.7132717 T3(k) 0.7132717 因此I0.713727

(2)Ixsinxdx

0k 0 T0(k) 63.45131310 T1(k)

1 因此I0

8.628283107 -4.4469231021 (3)Ix1x2dx

03k 0 1 2 3 4 T0(k) T1(k) T2(k) T3(k) T4(k) T5(k) 14.2302495 11.1713699 10.1517434 10.4437969 10.2012725 10.2045744 10.2663672 10.2072240 10.2076207 10.2076691 10.2222702 10.2075712 10.2075943 10.2075939 10.2075936 5 10.2112607 10.2075909 10.2075922 10.2075922 10.2075922 10.2075922 因此I10.2075922